高中数学 2.3 解三角形的实际应用举例同步精练 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

高中数学2.3解三角形的实际应用举例同步精练北师大版必修5基础巩固1有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长()A．5mB．10mC．10mD．10m2在△ABC中，a＝5，sinA＝，sinB＝，则b＝______.3在△ABC中，a＝3，b＝4，C＝60°，则c＝______.4如图所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10海里的C处．现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要______小时到达B处．5如图，A、B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的射影，求山高CD.6如图A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km，试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，≈1.414，≈2.449)．综合过关7甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了多少海里？18某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．能力提升9如图，有两条相交成60°角的直路EF、MN，交点是O，起初，甲在OE上距O点3km的点A处；乙在OM上距O点1km的点B处．现在他们同时以4km/h的速度行走，甲沿EF的方向，乙沿NM的方向．(1)求起初两人的距离．(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离．(3)什么时候他们两人的距离最短？参考答案1解析：如下图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m．在△BAB′中，由正弦定理，得BB′＝＝＝10.∴坡底要延伸10m时，斜坡的倾斜角将变为30°.答案：C2答案：3答案：4解析：在△OBC中，由余弦定理得CB2＝CO2＋OB2－2|CO||OB|cos120°＝100＋400＋200＝700，所以|CB|＝10，因此甲船需要的时间为＝小时．2答案：5解：在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m)． CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝800(＋1)(m)．∴山高CD为800(＋1)(m)．6分析：由题图可直观感知BD＝BA，且BC⊥AD，这可以通过证明CB是△CAD底边AD的中垂线来验证；通过解△ABC可求得AB，从而求得B，D间的距离．解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，所以CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.即图中B，D间距离与A，B间的距离相等．在△ABC中，由正弦定理得＝，所以AB＝＝.所以BD＝≈0.33km.故B，D的距离约为0.33km.7分析：如图，甲、乙两船到达相遇点C时，所用时间相等，通过解△ABC来解决．解：设甲船取北偏东θ角去追赶乙船，在C点处追上，若乙船行驶的速度是v，则甲船行驶的速度是v，由于甲、乙两船到C点的时间相等，都设为t，则BC＝vt，AC＝vt，∠ABC＝120°.由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°，即3v2t2＝a2＋v2t2＋vat，∴2v2t2－vat－a2＝0.∴t1＝，t2＝－(舍去)．∴BC＝a.∴∠CAB＝30°.∴甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，在乙船行驶a海里处相遇．8分析：首先根据题意画出图形，如图，由题意可知AC＝10，∠ACB′为120°，再利用舰艇靠近渔轮所需的时间与渔轮用的时间相同，若设相遇点为B′，这样解△AB′C即可．解：设所需时间为t小时，则AB′＝21t，CB′＝9t，3在△AB′C中，根据余弦定理，则有AB′2＝AC2＋B′C2－2AC·B′Ccos120°，可得212t2＝102＋81t2＋2·10·9t·，整理得360t2－90t－100＝0，36t2－9t－10＝0，(12t＋5)(3t－2)＝0，t＝或t＝－(舍去)．舰艇需小时靠近渔轮．此时AB′＝14，B′C＝6.由正弦...