题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.如图,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,左焦点为F,A,B,C为其三个顶点,直线CF与AB交于点D,若△ADC的面积为15.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在分别以AD,AC为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的圆心坐标;若不存在,请说明理由.2.已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P,求直线l的方程.3.设椭圆=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.4.已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点且斜率为1的直线m交抛物线C于A,B两点,以线段AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为2.(1)求抛物线C的方程.(2)过点P(0,2)的直线l交抛物线C于F,G两点,交x轴于点D,设=λ1=λ2,试问λ1+λ2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.5.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.6.(2017江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.参考答案题型练7大题专项(五)解析几何综合问题1.解(1)设左焦点F的坐标为(-c,0),其中c=, e=,∴a=c,b=c.∴A,B,C,∴直线AB的方程为-=1,直线CF的方程为-=1,联立解得点D的坐标为 △ADC的面积为15,|xD|·|AC|=15,即c·2c=15,解得c=3,∴a=5,b=4,∴椭圆C的方程为=1.(2)由(1)知,点A的坐标为(0,4),点D的坐标为假设存在这样的两个圆M与圆N,其中AD是圆M的弦,AC是圆N的弦,则点M在线段AD的垂直平分线上,点N在线段AC的垂直平分线y=0上.当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有A,M,N在一条直线上,且|AM|=|AN|.∴M,N关于点A对称.设M(x1,y1),则N(-x1,8-y1),根据点N在直线y=0上,∴y1=8.∴M(x1,8),N(-x1,0),而点M在线段AD的垂直平分线y-=-上,可求得x1=-故存在这样的两个等圆,且这两个圆的圆心坐标分别为M,N2.解(1)由题意得解得a=2,b=1.故椭圆C的方程是+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,则有x1+x2=,x1x2=Δ>04⇒k2+1>t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2+kt+t2=因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0.因为x1x2+y1y2==0,所以5t2=4+4k2.因为Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-或t>又设A,B的中点为D(m,n),则m=,n=因为直线PD与直线l垂直,所以kPD=-,得由解得当t=-时,Δ>0不成立.当t=1时,k=±,所以直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.3.解(1)设F(c,0),由,即,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得xB=,从而yB=由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),由BF⊥HF,得=0,所以=0,解得yH=因此直线MH的方程为y=-x+设M(xM,yM),由方程组消去y,解得xM=在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,即(xM-2)2+,化简得xM≥1,即1,解得k≤-,或k所以,直线l的斜率的取值范围为4.解(1)由已知:直线m的方程为y=x-,代入y2=2px,得x2-3px+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p,且线段AB的中点为,由已知()2+=(2p)2,解得p=2或p=-2(舍去),所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设直线l:y=kx+2(k≠0),则D,联立得k2x2+4(k-1)x+4=0.由Δ>0得k<设F(x3,y3),G(x4,y4),则x3+x4=,x3x4==λ1(x3,y3-2)=λ1,=λ2(x4,y4-2)=λ2,所以λ1==-,λ2=-则λ1+λ2=-=-将x3+x4=,x3x4=代入上式得λ1+λ2=-1.即λ1+λ2为定值-1.5.解由题知F设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P,Q,R记过A,B两点的直线为l,则...
