学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若空间任意两个非零向量a，b，则|a|＝|b|，且a∥b是a＝b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a＝b⇒|a|＝|b|，且a∥b；所以，必要；当b＝－a时，有|a|＝|b|且a∥b，但a≠b，所以，不充分．故选B.【答案】B2．下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．【答案】C3．如图213所示，三棱锥ABCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90°的共有()图213A．3对B．4对C．5对D．6对【解析】夹角为90°的共有BA与BD，BA与BC，DB与DC，BA与DC，DA与DC.【答案】C4.在如图214所示的正三棱柱中，与〈AB，AC〉相等的是()图214A．〈AB，BC〉1B．〈BC，CA〉C．〈C1B1，AC〉D．〈BC，B1A1〉【解析】 B1A1＝BA，∴〈BA，BC〉＝〈AB，AC〉＝〈BC，B1A1〉＝60°，故选D.【答案】D5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是()A.BDB．BC1C.BD1D．A1B【解析】 BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥面ACC1A1，故BD为平面ACC1A1的法向量．【答案】A二、填空题6．正四面体SABC中，E，F分别为SB，AB中点，则〈EF，AC〉＝________.【解析】如图所示， E，F为中点，∴EF∥SA，而△SAC为正三角形，∴∠SAC＝，∴〈EF，AC〉＝.【答案】7．下列命题正确的序号是________．①若a∥b，〈b，c〉＝，则〈a，c〉＝；②若a，b是同一个平面的两个法向量，则a＝b；③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c；④异面直线的方向向量不共线．【导学号：32550022】【解析】①〈a，c〉＝或，①错；②a∥b，②错；③当b＝0时，推不出a∥c，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】④图2158．如图215，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．【解析】要求异面直线EF与GH所成的角就是求〈FE，GH〉，因为FE与BA1同向共线，GH与BC1同向共线，所以〈FE，GH〉＝〈BA1，BC1〉，在正方体中△A1BC1为等边三角形，所以〈FE，GH〉2＝〈BA1，BC1〉＝60°.【答案】60°三、解答题9.如图216，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，在以长方体的顶点为起点和终点的向量中，图216(1)写出所有的单位向量；(2)写出与AB相等的所有向量；(3)写出与AD相反的所有向量；(4)写出模为的所有向量．【解】在长方体ABCDA1B1C1D1中，因为长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1，所以AD1＝＝.(1)单位向量有：AA1，A1A，BB1，B1B，CC1，C1C，DD1，D1D.(2)与AB相等的向量有：DC，D1C1，A1B1.(3)与AD相反的向量有：DA，CB，C1B1，D1A1.(4)模为的向量有：AD1，A1D，BC1，B1C，D1A，DA1，C1B，CB1.图21710．如图217所示，已知正四面体ABCD.(1)过点A，作出方向向量为BC的空间直线；(2)过点A，作出平面BCD的一个法向量．【解】如图所示，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为BC的空间直线．(2)如图所示，取平面BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，∴向量AO可作为平面BCD的一个法向量．[能力提升]1．空间两向量a，b互为相反向量，已知向量|b|＝3，则下列结论正确的是()A．a＝bB．a＋b为实数0C．a与b方向相同D．|a|＝3【解析】 a，b互为相反向量，3∴a＝－b，又 |b|＝3，∴|a|＝3.【答案】D2．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：①AB与C1D1；②AC1与BD1；③AD1与C1B；④A1D与B1C.其中互为相反向量的有n对，则n＝()A．1B．2C．3D．4【解析】AB与C1D1，AD1与C...
