初中数学巧用面积比 妙解几何题 学法指导 不分版本 试题VIP免费

初中数学巧用面积比妙解几何题用三角形面积比可以解决一类几何问题，解法很有独到之处，现举例如下：例1.如图1，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，则S△CDE等于（）图1A.B.C.D.2解法1：因为AD∥CE，所以∠A＝∠CEB因为DE∥BC所以∠AED＝∠B△ADE∽△ECB，得故选C。解法2：也可用同底的△DEC与△BCE（同底为CE），解法1的关键是△DCE与△BCE等高（平行线DE、CB之间的距离）。解法2的关键是同底。例2.如图2所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2。若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）图2A.6B.8C.10D.12（04年初数竞）解法1：由DE∥AB∥FG知，图3△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以＝，所以又由题设知，，所以，，故FD＝DC于是，以上是由DE∥AB∥FG，及相似三角形对应高的比等于相似比，把FG到DE、AB的距离之比1：2，转到DF：AF＝1：2，从而知△CDE和△CFG边长的相似比为1：2。解法2：因为DE∥AB∥FG，所以△CDE∽△CAB于是作梯形ABGF的中位线KH，由题设知所以DF＝FK＝AK，CD＝DF于是以上是由FG到DE、AB的距离之比为1：2，作梯形ABGF的中位线KH，从而知D是AC的四等分点。得到△CDE和△CFG的相似比。例3.如图4所示，平行四边形DEFG内接于△ABC，已知△ADE、△EFC、△DBG的面积分别为1、2.8和1.2，求平行四边形DEFG的面积。（05年芜湖中考）图4解：过D作DH∥CE交BC于点H，由DE∥HC，DH∥EC，可知四边形DECH为平行四边形。因为DH＝EC，所以△DGH≌△EFC，即S△DGH＝S△EFC，于是S△BDH＝4因为DH∥AE，DE∥BH，故△ADE∽△DBH则于是从而S平行四边形DEFG＝S△ABC－S△ADE－S△EFC－S△DBG＝9－1－2.8－1.2＝4这是由DE∥BC，及等高的两个三角形的等积变形，再转化到两个三角形的相似。例4.如图5所示，△ABC的外接圆O的直径BE交AC于点D，已知弧BC＝120°，cotC＝。则关于x的一元二次方程根的情况是（）图5A.没有实数根B.有两个相等的正实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的正实数根（99年绍兴中考）解：连结AE，因为＝120°所以∠BAC＝60°因为BE是⊙O的直径，所以∠BAE＝90°，∠DAE＝30°由三角形的面积比，得又，所以，因为，从而DE＝BD△＝而可知方程有两个不相等的正实数根。故选D。以上是从不同的角度求两个三角形的面积比，以此为桥梁，解决问题。［练习］1.如图6所示，已知P是△ABC内一点，求证。图6提示：从A、P作BC的垂线利用面积证题法。2.如图7所示，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧BC的中点，连AD并延长与过C的切线交于P，AD与BC交于E，求证。图7