第一部分专题五第3课时(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)A级1．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A．2B．3C．6D．8解析：设P(x0，y0)，则＋＝1即y＝3－，又因为F(－1,0)，∴OP·FP＝x0·(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，又x0∈[－2,2]，∴OP·FP∈[2,6]，所以(OP·FP)max＝6.答案：C2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.B.C．－D．－解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，得点F(1,0)，由消去y，得x2－5x＋4＝0，x＝1或x＝4，因此点A(1，－2)，B(4,4)，FA＝(0，－2)，FB＝(3,4)，cos∠AFB＝＝＝－，故选D.答案：D3．已知A，B是圆F：2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为________．解析：|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2＞1＝|AF|，所以点P的轨迹为以A、F为焦点，2为长轴长的椭圆，所以a＝1，c＝，b2＝1－＝.所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝1.答案：x2＋y2＝14．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．解析：由已知，得抛物线方程为y2＝4x.直线l的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB的中点，故直线l的斜率存在，设其为k，则直线l的方程是y－2＝k(x－2)且k≠0，与抛物线方程联立，消掉x，则y2－4＝0，即y2－y＋－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，又＝2，即＝2，解得k＝1，故所求的直线方程是y－2＝x－2，即y＝x.答案：y＝x5．(2012·山西省考试)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点F1，F2在y轴上，它的一个顶点为A(，0)，且中心O到直线AF1的距离为焦距的，过点M(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，点N在线段PQ上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，求动点N的轨迹方程．解析：(1)设椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0)．由于椭圆的一个顶点是A(，0)，故b2＝2.根据题意得，∠AF1O＝，sin∠AF1O＝，即a＝2b，a2＝8，所以椭圆的标准方程是＋＝1.1(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x，y)，由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)．直线l的方程与椭圆方程联立消去y得：(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－8＝0.由Δ＝16k4－4(k2＋4)(4k2－8)>0，得－2b>0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．解析：(1)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c＝1.因为椭圆C的离心率为，所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0.当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．由消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，则x1＋x2＝.所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝.线段MN的垂直平分线的方程为y＋＝－.在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝.当k<0时，＋4k≤－4；当k>0时，＋4k≥4.所以－≤y0<0或0
