板块一六大核心素养一、数学抽象、直观想象素养1数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.例1(1)如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．答案①②③解析看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．(2)某楼梯共有11级，每步可走一级或二级，走完这11级楼梯共有多少种不同的走法？解楼梯共有11级，数值比较大，可以先考虑简单情形．楼梯共有：1级、2级、3级、4级、5级、…，从特殊的情境里发现规律.楼梯级数12345…11走法种数12358…？从上面的走法种数1,2,3,5,8，…可以发现：前两个走法种数之和是下一个走法种数．于是，容易推算出：走完这11级楼梯，共有144种不同的走法．1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟答案B解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．2．甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100,120个单位，则混合物重量的最小值为________kg.答案30解析设甲食物重xkg，乙食物重ykg， A，B的含量分别不低于100,120个单位，∴由得∴A(20,10)，混合物重z＝x＋y，平移直线z＝x＋y，由图知，当直线过A(20,10)时，z取最小值为20＋10＝30.素养2直观想象是指借助几何直观形象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程.例2(1)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与点Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则()A．{Sn}是等差数列B．{S}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{d}是等差数列答案A解析作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn. |AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，n＝1和n＝2时也符合．∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]＝c[(b－a)n＋(2a－b)]，∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，∴数列{Sn}是等差数列．(2)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于()A.＋1B.＋2C．2＋1D．2＋2答案B解析如图，取BB1的中点E，CC1的中点F，连接AE，EF，FD，则BN⊥平面AEFD.设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为α，∴能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等， 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，∴矩形AEFD的周长为＋2.3．“牟合方盖”(如图1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图2所示，图中四边形...
