偏微分大作业一维热传导方程问题——运用隐式格式求解数值解目录问题描述.....................................................................................................31解析解——分离变量法..........................................................................32数值解——隐式格式..............................................................................53证明隐式格式的相容性与稳定性..........................................................54数值解——分析与Matlab实现.............................................................65数值解与解析解的比较..........................................................................96随时间变化的细杆上的温度分布情况................................................117稳定后细杆上的温度分布情况............................................................12参考文献...................................................................................................13附录...........................................................................................................14有限长杆的一维热传导问题问题描述一根单位长度的细杆放入100℃的沸水中，当细杆的温度达到100℃时取出。假设细杆四周绝热；在时间t=0时，细杆两端浸入0℃的冰水中。一维热传导方程，现在令，从而可知本题：。现在要求细杆温度分布：。1解析解——分离变量法热传导偏微分方程：(1)其中，首先令：(2)将(2)式带入(1)式得：于是可得：可以得到两个微分方程：4先求解空间项：当时，由于可知:由于解的收敛性，则此时是平庸解。当时，则此时是平庸解。当时，，其中。所以，，因为所以，，则，初始条件：5最终，，2数值解——隐式格式目前，研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。这里使用隐式格式。利用，关于t进行向前差商：；关于x进行二阶中心差：；代入偏微分方程可以得到隐式差分格式：（1）3证明隐式格式的相容性与稳定性（1）相容性代入隐式格式得：6(2)将（2）与原微分方程相减，得到截断误差：所以此隐式格式与原微分方程相容。（2）稳定性令网格比为，则可以将（1）式改写得到：（3）首先令：（4）将（4）代入（3）式，根据欧拉公式化简得：（5）故得放大因子是：所以根据Fourier方法，隐式格式恒稳定。4数值解——分析与Matlab实现（1）边值与初值离散化将边值与初值离散化，与式（3）联立得差分线性方程组：7，，再将方程组改写成的形式：本题的边界条件均为零。所以可以将上式改写。（2）Matlab的实现杆长1米，时间2秒。设计空间步长h=0.1和时间步长t=0.01，网格比是。从而得到划分的空间网格点数是M1+1，时间网格点数是M2+1。先设初始的温度矩阵U(M2+1,M1+1)。再将边界条件和初始条件编写到表示温度分布的矩阵中。具体代码可见最后附录。编写矩阵A核心代码：对角线：A(i,i)=1+2r对角线的右方和下方：A(i,i+1)=-r;A(i+1,i)=-r;8下面就要运用进行迭代。当k=1时，A*U(2,j)=U(1,j)当k=2时，A*U(3,j)=U(2,j)当k=3时，A*U(4,j)=U(3,j)以此迭代下去直到k=M2。就可以得到整个温度随时间和空间的分布矩阵U。数值解画图，如图1(a)和图1(b)所示。图1(a)数值解的温度分布图现在将着色平稳过渡。9图1(b)着色平稳过渡的数值解的温度分布图5数值解与解析解的比较首先，我们需要将解析解离散化，解析解中有一项，当n越来越大时，会快速趋于0，故我们可以取n=8000。现在来证明可行性，在matlab里的工作空间运算。将解析解的温度分布画出来，数值解画图，如图2所示。10图2解析解的温度分布图将数值解与解析解相减，得到误差图。如图3(a)和图3(b)，我们从图3(a)上可以看出空间上的误差，在边界处误差比较大。11图3（a）数值解与解析解空间误差我们从图3(a)上可以看出时间的误差，在时间的最开始，处误差最大，然后又有一个小的波动，最后就误差渐渐变小，最后趋于0。图3（b）数值解与解析解时间误差6随时间变化的细杆上的温度分布情况从数值解的温度分布三维图，如...
