3.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式一、选择题1．设y＝e3，则y′等于()A．3e2B．e2C．0D．以上都不是[答案]C[解析]∵y＝e3是一个常数，∴y′＝0.2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定[答案]B[解析]∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有两条．3．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若y＝，则y′＝－2x3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3，其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]②y′＝；③y′＝－2x－3，所以只有①④是正确的．4．下列结论正确的是()A．若y＝sinx，则y′＝cosxB．若y＝cosx，则y′＝sinxC．若y＝，则y′＝D．若y＝，则y′＝[答案]A[解析]∵B项中，y′＝－sinx；C项中，y′＝－；D项中，y′＝，∴选A．5．f(x)＝，则f′(－1)＝()A．B．－C．D．－[答案]D[解析]∵f(x)＝x－，∴f′(x)＝－x－，∴f′(－1)＝－(－1)－＝－.6．函数y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为()A．e2B．2e2C．e2D．[答案]D[解析]∵y′|x＝2＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围成三角形面积为×|－e2|×1＝，故选D．二、填空题7．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________.[答案]3[解析]y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n2n－1＝12，∴n＝3.8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝，则质点在t＝32时的速度等于____________.[答案][解析]∵s′＝()′＝(t)′＝t－，∴质点在t＝32时的速度为×32－＝×(25)－＝.9．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________.[答案](2,1)[解析]设P(x0，y0)，∵y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，∴－8x＝－1.∴x0＝2，y0＝1.三、解答题10．求证双曲线y＝上任意一点P处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值．[解析]设双曲线上任意一点P(x0，y0)，∵y′＝－，∴点P处的切线方程y－y0＝－(x－x0)．令x＝0，得y＝y0＋＝；令y＝0，得x＝x0＋xy0＝2x0.∴S△＝|x|·|y|＝2.∴三角形面积为定值2.一、选择题1．(2015·北京东城区联考)曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为()A．1B．－C．D．[答案]C[解析]∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝.2．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()A．f(x)＝exB．f(x)＝x3C．f(x)＝lnxD．f(x)＝sinx[答案]D[解析]若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1，∵A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(lnx)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D．3．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为()A．B．－C．D．－[答案]C[解析]y′＝＝k，∴x＝，切点坐标为，又切点在曲线y＝lnx上，∴ln＝1，∴＝e，k＝.4．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点为()A．(，)B．(－，－)或(，)C．(2kπ＋，)D．(2kπ＋，)或(2kπ－，－)[答案]D[解析]设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′|x＝x0＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，∴y0＝或－.二、填空题5．(2015·陕西理)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.[答案](1,1)[解析]由于(ex)′＝ex，()′＝－，故曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k＝e0＝1，设P(x0，)，曲线y＝(x>0)上点P处的切线斜率－，若两直线垂直则有1×(－)＝－1，解得x0＝1，故P(1,1)．6．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线的方程为________.[答案]4x－y－5＝0[解析]y′＝2x，设切点为(x0，y0)，则由题意可知，y′|x＝x0＝4，即2x0＝4，所以x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4，所以这条切线方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.三、解答题7．已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？[解析](1)∵y′＝3x2，∴切线斜率k＝3，∴切线方程y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由消去y得，3x－x3－2＝0，∴(x－1)2(x＋2)＝0，∴x1＝1，x2＝－2.∴其他公共点为(－2，－8)．8．已知函数y＝asinx＋b的图象过点A(0,0)，B(，－1)，试求函数在原点处的切线方程．[解析]∵y＝asinx＋b的图象过点A(0,0)，B(，－1)，∴，解得.∴y＝sinx.又∵y′＝cosx，∴y′|x＝0＝1.∴切线方程为y＝x.
