3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[学生用书P125(单独成册)])[A基础达标]1．(2019·泰安高二检测)若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f′(1)＝ln27，则f′(－1)＝()A．2B．ln3C.D．－ln3解析：选C.f′(x)＝axlna，由f′(1)＝alna＝ln27，解得a＝3，则f′(x)＝3xln3，故f′(－1)＝.2．已知f(x)＝x2·，则f′(2)＝()A．4B．0C.D．5解析：选D.原函数化简得f(x)＝x，所以f′(x)＝·x，所以f′(2)＝×2＝5.故选D.3．已知f(x)＝exlnx，则f′(x)＝()A.B．ex＋C.D．＋lnx解析：选C.f′(x)＝(ex)′·lnx＋ex·(lnx)′＝ex·lnx＋ex·＝，所以选C.4．若幂函数f(x)＝mxα(α∈Q*)的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是()A．2x－y＝0B．2x＋y＝0C．4x－4y＋1＝0D．4x＋4y＋1＝0解析：选C.因为函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1.又幂函数f(x)＝xα的图象经过点A，所以α＝，所以f(x)＝x，f′(x)＝，f′＝1，所以f(x)的图象在点A处的切线方程为y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.5．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x＋2解析：选A.因为y′＝＝，所以k＝y′|x＝－1＝＝2，所以切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.6．已知函数f(x)＝，若f′(a)＝12，则实数a的值为________．解析：f′(x)＝，若f′(a)＝12，则或，解得a＝或a＝－4.答案：或－47．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，则点P的坐标为________．解析：因为曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，所以曲线f(x)在点P处的切线斜率为4，因为f(x)＝x3＋x－2，所以f′(x)＝3x2＋1＝4，所以x＝±1，当x＝1时，y＝0，当x＝－1时，y＝－4，所以点P的坐标为(1，0)或(－1，－4)．答案：(1，0)或(－1，－4)18．(2019·西安高二检测)已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．解析：因为f′(x)＝－f′sinx＋cosx，所以f′＝－f′×＋，得f′＝－1.所以f(x)＝(－1)cosx＋sinx.所以f＝1.答案：19．求下列函数的导数．(1)y＝－lnx；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝；(4)y＝.解：(1)y′＝(－lnx)′＝()′－(lnx)′＝－.(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.(3)y′＝＝.(4)y′＝＝.10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．解：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又知g(0)＝3.所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.[B能力提升]11．设f0(x)＝cosx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2018(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：选D.f1(x)＝(cosx)′＝－sinx，f2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f3(x)＝(－cosx)′＝sinx，f4(x)＝(sinx)′＝cosx，……由此可知fn(x)的值周期性重复出现，且周期为4，故f2018(x)＝f4×504＋2(x)＝f2(x)＝－cosx．故选D.12．(2019·衡水高二检测)已知函数f(x)＝x2－alnx．若函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线不过第四象限且不过原点，则实数a的取值范围为________．解析：由f′(x)＝x－，得f′(1)＝1－a.因为f(1)＝，所以函数f(x)的图象在点2(1，f(1))处的切线方程为y－＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋a－.由题意得，解得
0)，则a＝－x－≤－2，当且仅当x＝，即x＝时，等号成立，故实数a的取值范围为(－∞，－2]．3
