几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式一、选择题(每小题5分,共25分)1.若曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于()A.2B.4C.D.【解析】选A.y′=2x,则切线的斜率为2a,所以曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线方程为y-a2=2a·(x-a),即y=2ax-a2.令x=0得y=-a2,令y=0得x=,所以切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为×a2×=2,解得a=2,故选A.2.(2016·海南高二检测)已知函数f(x)=,则f′(-2)=()A.4B.C.-4D.-【解题指南】利用常用函数的导数公式进行计算.【解析】选D.因为f(x)=,所以f′(x)=-,所以f′(-2)=-=-.3.(2016·临沂高二检测)若函数f(x)=f′(-1)x2-2x+3,则f′(-1)的值为()A.0B.-1C.1D.2【解析】选B.因为f(x)=f′(-1)x2-2x+3,所以f′(x)=f′(-1)x-2.所以f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2,所以f′(-1)=-1.4.质点做直线运动的方程是s=,则质点在t=3时的速度是(位移单位:m,时间单位:s)()A.B.C.D.1【解析】选A.因为s==,所以s′=,当t=3时,s′=·=.5.(2016·保定高二检测)已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为()A.eB.-eC.D.-【解析】选C.y′=,设切点为(x0,lnx0)(x0>0),则k=y′=,切线方程为y-lnx0=(x-x0).因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故k=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·临沂高二检测)曲线y=x2在x=处的切线的倾斜角α为.【解析】由y=x2,得y′=2x,y′=1,因此斜率k=1,所以α=45°.答案:45°7.(2016·青岛高二检测)曲线y=在点(1,1)处的切线方程是.【解析】由y=,得y′=,所以斜率k=y′=,所以切线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.答案:x-2y+1=0【补偿训练】(2014·广东高考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为.【解析】因为y′=-5ex,所以在点(0,-2)处的切线斜率为-5,所以切线方程为y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0.2答案:5x+y+2=08.(2016·石家庄高二检测)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是.【解析】y′==≥-1,即tanα≥-1且tanα<0,所以≤α<π.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·洛阳高二检测)若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值.【解析】由于f(x)=,所以f(c)=,又f′(x)==,所以f′(c)=.由题意知f(c)+f′(c)=0,所以+=0,所以2c-1=0,得c=.10.(2016·郑州高二检测)试求过点P(2,-1)且与曲线y=x2相切的直线的方程.【解题指南】先判断所给点是否在曲线上,若不在曲线上,则需设出切点坐标,然后利用斜率相等,列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.【解析】由题意知点P(2,-1)不是曲线y=x2上的点,即点P不是切点,设切点为M(x0,y0),则y0=,①因为y′=2x,所以y′==2x0.又kPM=,所以2x0=.②3由①②解得x0=2+或x0=2-.当x0=2+时,切线斜率k=2x0=4+2.此时切线方程为y+1=(4+2)(x-2),即(4+2)x-y-9-4=0.当x0=2-时,切线斜率k=2x0=4-2,此时切线方程为y+1=(4-2)(x-2),即(4-2)x-y-9+4=0.所以切线方程为(4+2)x-y-9-4=0或(4-2)x-y-9+4=0.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·石家庄高二检测)若曲线y=f(x)=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于()A.64B.32C.16D.8【解析】选A.由题得f′(a)=-,切线方程为y-=-(x-a),令y=0,得x=3a,令x=0,得y=.所以切线与两坐标轴交点分别为A(3a,0),B,又因为a>0,所以S△OAB=×3a×==18.所以a=64.42.(2016·烟台高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2016(x)=()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解析】选A.因为f0(x)=sinx,所以f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,…,所以fn(x)的周期T=4,所以f2016(x)=f0(x)=sinx.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·洛阳高二检测)已知f(x)=cosx,g(x)=x,则关于x的不等式f′(x)+g′(x)≤0的解集为.【解析】f′(x)+g′(x)=-sinx+1≤0,所以sinx≥1,又sinx≤1,所以sinx=1,所以x=+2kπ,k∈Z.答案:4.(2015·陕西高考)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为.【解题指南】利用y=ex在某点处的切线与另一曲线的切线垂直求得另一曲线的切线的斜率,进而求得切点坐标.【解析】由f′(x)=ex,得f′(0)=e0=1....
