第二讲证明不等式的基本方法1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解．2．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．,利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们而言，掌握这些技巧是极为重要的．但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景．所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中．2．1比较法1．了解用作差比较法证明不等式．2．了解用作商比较法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．作差法：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a＞b⇔a－b________0a＝b⇔a－b________0a＜b⇔a－b________0答案：＞＝＜思考1比较两个代数式值的大小：x2与x2－x＋1.解析：当x＝1时，x2＝x2－x＋1；当x＞1时，x2＞x2－x＋1；当x＜1时，x2＜x2－x＋1.2．作商法：由于当b＞0时，a＞b⇒＞1，因此要证明a＞b(b＞0)，可以转化为证明与之等价的＞1(b＞0)，这种证明方法即为作商法．1思考2求证：1618＞1816.证明： ＝＝＝＞1，∴1618＞1816.1．设m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则()A．m＞nB．m≥nC．m＜nD．m≤n答案：D2．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A．c≥b＞aB．a＞c≥bC．c＞b＞aD．a＞c＞b答案：A3．已知下列不等式：①x2＋3＞2x(x∈R)；②a5＋b5＞a3b2＋a2b3(a，b∈R)；③a2＋b2≥2(a－b－1)．其中正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：C4.________1(填“≥”“≤”“>”或“<”)．答案：≤5．若a＞b，则代数式a3＋a2b与ab2＋b3的大小关系是()A．a3＋a2b＜ab2＋b3B．a3＋a2b≥ab2＋b3C．a3＋a2b＝ab2＋b3D．不能确定解析： a＞b，∴(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a3－b3)＋(a2b－ab2)＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＋ab(a－b)＝(a－b)·(a＋b)2≥0，∴a3＋a2b≥ab2＋b3.答案：B6．设0<2a<1，M＝1－a2，N＝1＋a2，P＝，Q＝，那么()A．Q
0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明： 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)．又 a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2－a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.13．设不等式|2x－1|<1的解集为M.3(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解析：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得00.故ab＋1>a＋b.14．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5]．当a≥b...
