追溯湖北高考十年自主命题立体几何命题之奥秘—兼谈探究性学习武汉经济技术开发区何文桂特级教师工作室2013.9•高考年年考，试题年年新，可谓是“神秘莫测”！果真如此吗？下面我们一起追溯湖北高考十年自主命题立体几何命题之奥秘，并以此说明引导学生探究性学习的重要性！•问题58［人教社2007版《普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)》(选修2-1)P111练习题3］如图112，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，AB1和BA1交于点P，连结DP，求证：DP⊥BA1．•【思考与探索】在图112中多角度、动态地探索新的结论，或将结论引伸到棱柱或棱锥．PABCDA1B1C1D1图112作PF⊥AB于F，则∠PDF为PD与底面AC所成的角．求PD与底面AC所成角的正切值，则为2008上海卷文理科题16，12分．∠APD为二面角A-BA1-D的平面角．F图112(1)D1C1B1A1DCBAPPABCDA1B1C1D1图112当ABCD-A1B1C1D1是底面ABCD为任意四边形的直棱柱时，作AN⊥BD于N，取BN的中点Q．则PQ⊥AB，∠APN为二面角A-BA1-N的平面角．把∠BAD设为120°，再把四棱锥A1-ABCD从直四棱柱中移出来命题，则为2010湖北卷理科题18，12分．连AC交BD于Q，连B1C，A1D，则PQ∥B1C∥A1D，B1C∥平面BDP，A1D∥平面APQ，PQ∥平面B1BC∥平面A1AD，PQ∥平面A1B1CD，∠PQB为异面直线B1C与BD所成的角．因AB⊥A1D，所以PQ⊥AB．QN图112(3)D1C1B1A1DCBAPQ图112(2)D1C1B1A1DCBAPＨ把112(2a)正方体中的两个相邻的面ABB1A1、ABCD移出来命题，则为2002全国新课程卷文理科题19，12分．由此可得到比标准答案更直观的解法．PABCDA1B1图112(2b)Q当点P、Q分别在A1B、AC上变动时，若A1P=AQ，PQFE仍为矩形，且AE+AF=AD．因AE+AF=AD=a为定值，所以当AE=AF即E、F分别为AA1、AD的中点也即P、Q分别为A1B、AC的中点时，PQ最短．此时取ＰＱ的中点H，则∠AHB为二面角A-PQ-B的平面角．在图112(2)中，作PE⊥AA1于E，QF⊥AD于F，则PQFE为矩形，且E、F分别为AA1、AD的中点．EFFEQ图112(2a)D1C1B1A1DCBAPPABCDA1B1C1D1图112(2)Q异面直线CP与D1Q所成角的余弦值为-16．当M为DD1的中点时，平面APQ⊥平面MPQ，且MQ⊥DC1．由此可将正方体改为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，当M在DD1的何处时平面APQ⊥MPQ平面进行命题．MP图112(2ｃ)D1C1B1A1DCBAQ设R、O分别是面AD1、体AC1的中心，则O-PQR为OP、OQ、0R两两互相垂直的正三棱锥，其体积是正方体体积的148，全面积是正方体全面积的3+348．取PQ的中点H，则∠BHC1，∠BHD1，∠AHB，∠AHC1，∠AHD1分别为二面角B-PQ-C1，B-PQ-D1，A-PQ-B，A-PQ-C1，A-PQ-D1的平面角．ROQ图112(5)D1C1B1A1DCBAPHQ图112(4)D1C1B1A1DCBAP将C改为BC上任一点M时，该结论仍成立．如果取BC的中点M，再把四棱锥A1-ABMD从正方体中移出来命题，则为2006浙江卷文理科题19，14分．作PG∥BC交A1C于G，则BA1⊥平面APGD，且∠BDP为直线BD与平面APGD所成的角F作PE⊥A1C于E，因A1C⊥AP，所以A1C⊥平面APE，∠AEP为二面角A-A1C-B的平面角．A1D∥平面APC；作PF⊥AB于F，则∠PCF为直线CP与底面AC所成的角．把四棱锥A1-ABCD从正方体中移出来命题，则为2004天津卷文理科题19，12分．EMGE图112(8)D1C1B1A1DCBAPG图112(7)D1C1B1A1DCBAP图112(6)D1C1B1A1DCBAP因为AC⊥PM于，设E为BM的中点，在AB上确定一点N，使EN⊥PM，并求EN与平面NPM所成角的正切值．此即为2012湖北卷理科题19(12分)(2)．因为AP⊥BA1，AD⊥平面ABB1A1，所以AD上除点A外任一点与点P的连线都垂直于BA1．取AD中点M，则PM⊥BA1，PM⊥AC．设AC交BM于R，作RT∥PM交BA1于，则RT为异面直线AC与BA1的公垂线．NEM图112(10)D1C1B1A1DCBAPRTM图112(9)D1C1B1A1DCBAPBD⊥平面A1CA内任何一条直线．∠A1CA为直线A1C与底面ABCD所成的角．易知tanθtanφ=1．反之，当ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱时，在AA1上取点Q，设二面角A-BQ-D为θ，直线QD与底面ABCD所成角为φ，若tanθtanφ=1，则AQ=AB．把四棱锥A1-ABCD从正四棱柱中移出来命题，则为2009湖北卷理科题18，12分．作AQ⊥PD于Q，则∠ABQ为直线AB与平面DBA1所成的角．易知sinφ=22sinθ，由θ的范围可确定φ的范围．此关系式对于ABB1A1-DCC1D1为正四棱柱也成立．把三棱锥D-ABA1从正四棱柱ABB1A1-DCC1D1中移出来命题，则为2...
