巧妙建模，柳暗花明VIP免费

YXOCAB巧妙建模柳暗花明——例说构建解几模型求最值如皋市第二中学226500宗在华最值问题是高中数学的常考问题之一，也是难点之一。数学应用意识的考查要求是：能够应用所学数学知识、思想和方法，构造数学模型，解决实际问题（江苏数学高考说明）。笔者结合自己的教学实践，试通过几例说明如何构建解几模型解决最值问题，以期抛砖引玉。例1、（江苏高考说明典型示例第14题）满足条件的的面积的最大值为.分析：本题主要考查灵活运用有关知识解决问题的能力，属于难题（考试说明语）。但是，如果能够构建解几模型，求出C点的轨迹，则能化难为简，降低解题难度，很容易得出准确结果。解：以AB所在直线为轴，AB的中垂线为轴建立如图所示的直角坐标系，则，设，根据题意得：化简得：点C到AB的最大距离为的面积的最大值为。例2、成等差，点在直线上的射影为M，点，则线段MN的长度的最大值为.分析：本题较难，有一种无从下手的感觉。但如果能发现M点的轨迹是一个定圆，就变得简单易行了。1YlX•MAPNQ解：，可以变形为直线过定点，又，点M在以AP为直径的圆上由：，可知：圆心半径模型提炼：1、为定点，若，那么M在以PA为直径的圆上；2、M为圆Q上任意一点，N为圆Q外一点，则例3、实数满足，则的最小值为.分析：本题含有四个变量，不知从何下手；但如果能由联想到两点之间的距离，那求解过程就变得简单易行了。解：设由得：，即点在曲线上；由得：，即点在直线上。设曲线的与直线平行的切线的切点为又，，21x2YXO的最小值为.模型提炼：1、表示点之间距离的平方；2、M是曲线上一点，N是直线上一点，最小值求法：求出曲线与平行的切线，与之间的距离即为的最小值。例4、记，对于任意的实数，的最大值与最小值之和为.分析：本题含有两个变量，同时还有三角函数，无法用常规方法求出最大值和最小值。如果能从分式的形式联想到斜率，通过构建解几模型，变为求动点与定圆上点的连线的斜率，就简单易行了。解：当时，当时，，可以看做点与点连线的斜率；而，点的轨迹方程为：点的轨迹方程为：易知：过点（或）的圆两条切线的斜率分别为的最大值和最小值。不妨设：过的圆的切线为：3，即，化简得：，即的最大值与最小值之和为4.最值问题的解法多种多样，构建模型是一种行之有效、事半功倍的方法，它对思维和能力的要求较高，遇到具体问题时，我们可以采用联想、类比、变分等方法去建模。只要在平时的学习中注意思考、总结和积累，就能应用自如。4