§9线性有关与线性无关教学规定：掌握线性有关与线性无关的定义,并能够判断向量组的线性有关性知识要点:一、定义与例子:定义9.1对向量组，如果存在一组不全为零的数,使得那么,称向量组线性有关.如果这样的个数不存在,即上述向量等式仅当时才干成立,就称向量组线性无关.含零向量的向量组一定线性有关,由于其中,不全为零.只有一种向量构成的向量组线性无关的充足必要条件是,线性有关的充足必要条件是.考虑齐次线性方程组(*)它能够写成，或,其中.由此可见,向量组线性有关的充足必要条件是齐次线性方程组(*)有非零解.也就是说,向量组线性无关的充足必要条件是齐次线性方程组(*)只有零解.例1向量组是线性无关的.解:设有使,即,得齐次线性方程组.解此方程组得,因此向量组线性无关.例2设向量组线性无关,又设,证明向量组也线性无关.证明:设有使,即,由于线性无关,故有此线性方程组只有零解,也即向量组线性无关.定理9.1向量组线性有关的充足必要条件是其中最少有一种向量能够由其它个向量线性表达.证明:必要性设线性有关,即存在一组不全为零的数,使得.不妨设,那么有,即能够由其它个向量线性表达.其实,在向量等式中,任何一种系数的向量都能够由其它个向量线性表达.充足性设向量组中有一种向量能由其它个向量线性表达.不妨设,那么,由于不全为零,因此线性有关.二、向量组线性有关和线性无关鉴别定理:设矩阵的列向量组为,矩阵的列向量组为,其中矩阵是通过对矩阵做行初等变换后得到的.我们有下列定理:定理9.2向量组与向量组有同样的线性有关性.证明:记.那么,当且仅当齐次线性方程组有非零解时向量组线性有关.当且仅当齐次线性方程组有非零解时向量组线性有关.由于齐次线性方程组或者只是对调了的第个方程与第个方程的位置,或者只是用非零数承的第个方程,或者只是把的第个方程的倍加到第个方程上去,这连个方程组一定是同解的,因此,对应的向量组有同样的线性有关性.定理9.3如果向量组线性有关,那么也线性有关.证明:向量组线性有关,即存在不全为零的数使,于是,但是,仍不全为零,因此,向量组线性有关.推论9.4线性无关向量组的任意一种非空局部组仍是线性无关向量组.定理9.5设有维向量组与维向量组如果向量组线性无关,那么,向量组也线性无关.推论9.6维向量组的每一种向量添加个分量成为维向量.如果维向量组线性无关,那么,维向量组也线性无关.反言之,如果维向量组线性有关,那么,维向量组也线性有关.定义9.2在型的矩阵中,任取行列,位于这些行列穿插处的个元素,不变化它们在中所处的位置次序而得的阶矩阵行列式,称为矩阵的阶子式.型矩阵的阶子式共有个.定理9.7设维向量组构成矩阵那么向量组线性无关的充足必要条件是矩阵中存在一种不等于零的阶子式.推论9.8个维向量组线性无关的充足必要条件是它们所构成的阶矩阵的行列式不等于零.推论9.9当时,个维向量必线性有关.思考题：1、举例阐明下列各命题是错误的(1)假设向量组线性无关，那么可由线性表达;(2)假设有不全为零的数使那么线性有关,也线性有关;(3)假设只有当全为零时,等式才干成立线性无关,也线性无关;(4)假设线性有关,也线性有关,那么有不全为零的数,使同时成立.2、判断下列向量组与否线性有关:(1);(2);(3);(4).3．设向量组线性无关,讨论向量组的线性有关性.4、设向量组线性无关,线性有关,那么必可由向量组线性表达.5、选择题(1)维向量组线性无关的充足必要条件是A.存在一组不全为零的数,使;B.中任意两个向量都线性无关;C.中存在一种向量,它不能由其它向量线性表达;D.中任意一种向量都不能被其它向量线性表达.(2)向量组线性无关,那么向量组A.也线性无关;B.也线性无关;C.也线性无关;D.也线性无关.(3)设有任意两个维向量组与.如果存在两组不全为零的数与使那么A.与.线性有关;B.与.线性无关;C.线性无关;D.线性有关.
