第八讲定区间上的二次函数及二次方程根的分布知识要点1、区间的概念：设，是两个实数，且，规定：（1）满足不等式的实数的全体叫做闭区间，表达为.（2）满足不等式的实数的全体叫做开区间，表达为.（3）满足不等式或的实数的全体叫做半开半闭区间，表达为和.我们还能够把满足，，，的实数的全体分别表达为，，，.2、函数在它的自变量的取值范畴内所获得的最大或最小值称为函数的最值。有的函数不一定有最值，如；有的函数只有最大值或最小值，如，若，则当时，有最小值，而无最大值；若，则当时，有最大值，而无最小值.3、二次函数在闭区间上的最值.二次函数在闭区间上的最值问题，重要是通过画图，看这两个要素：①二次函数的开口方向；②闭区间上图象上的点离对称轴的远近.核心是考虑单调性。例如二次函数在上的最值，当时，有如图的三种状况：从上述的三种状况可得结论：（1）若，则当时，，函数的最大值为与中较大的一种.（2）若，则最大值为与中较大的一种，另一种即为最小值.当时可作同样解决.例1：已知，当在下列区间内取值时，求的最大值和最小值.（1）；（2）；（3）.例2：求的最值.例3：已知，求的最值.例4：求的最小值.例5：已知，求的最小值.:例6：如图，有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是圆的直径，且上底的端点在圆周上，写出梯形周长和腰长之间的函数关系式，并求周长的最值.例7：设，是方程的两根，当为什么值时，有最小值？并求此最小值.例8：已知函数在区间上有最小值，求的值.闭区间上的二次函数练习：1、已知，当在下列区间内取值时，求的最大值和最小值.（1）；（2）；（3）.2、求函数，的最值.3、求的最值.4、当时，求的最小值.5、已知，的最小值为，最大值为，求，的值.6、如图，在边长为的正内，的边在边上滑动，且，求三边的平方和的最大值和最小值.7、若，求的最大值和最小值.8、求函数的最大值.9、设，是有关的方程的两个实根，求的最小值.10、若函数在上的最大值为，求的值.二次方程根的分布知识要点：1、对于实系数方程方程：（1）两根都是正数；（2）两根都是负数；（3）两根一正一负.2、设，是二次方程的两个实根，运用二次函数的图象位置可讨论根的性质，列表以下：【典型例题】例1：方程和方程有一种根相似，求此根及的值.例2：已知方程有两个负根，求的取值范畴.例3：已知方程的两根都落在内，求实数的取值范畴.例4：若方程的两根都不不大于，求的取值范畴.例5：求实数的取值范畴，使有关的方程：（1）有两个实根，且一种比大，一种比小；（2）有两个实根，，且满足；（3）最少有一种正根.二次方程根的分布练习：1、函数的图象与轴的交点个数是_____个.2、试拟定的值，使方程的根均为负数.3、已知方程的两根互为相反数，求实数的值.4、设方程的两个实根异号，且负根的绝对值较大，求实数的取值范畴.5、求实数的取值范畴，使有关的方程有两个实根，且都比大.6、已知二次方程有一种不不大于的负根，有一种不大于的正根，求实数的取值范畴.7、若方程的两根，中，，，求的取值范畴.8、已知二次方程的两根都在区间内，求实数的取值范畴.
