1/71-4-2第二讲数列的通项公式与数列求和一、选择题1．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10，则a2012＝()A．2010B．2012C．－2010D．－2012解析：设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件可得a1＋d＝02a1＋12d＝－10，解得a1＝1，d＝－1.所以数列{an}的通项公式为an＝－n＋2.故a2012＝－2012＋2＝－2010.答案：C2．(2012年高考福建卷)数列{an}的通项公式an＝ncosnπ2，其前n项和为Sn，则S2012等于()A．1006B．2012C．503D．0解析：用归纳法求解． an＝ncosnπ2，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，⋯.由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，⋯，a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋4n＝2.2/7又2012＝4×503，∴a1＋a2＋⋯＋a2012＝2＋2＋⋯＋2,sdo4(503个))＝2×503＝1006.答案：A3．(2012年海淀模拟)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为()A．6B．7C．8D．9解析： an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有ak≥0，ak＋1≤0，∴22－3k≥0，22－3（k＋1）≤0，∴193≤k≤223， k∈N*，∴k＝7.故满足条件的n的值为7.答案：B4．在公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1＝1，an＝51，则n＋d的最小值为()A．14B．16C．18D．10解析：由题意得1＋(n－1)d＝51，即(n－1)d＝50，且d>0.由(n－1)＋d≥2（n－1）d＝250(当且仅当n－1＝d时等号成立)，3/7得n＋d≥102＋1，因为n，d均为正整数，所以n＋d的最小值为16，选B.答案：B5．(2012年高考浙江卷)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d<0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d<0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列解析：利用函数思想，通过讨论Sn＝d2n2＋(a1－d2)n的单调性判断．设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2＋(a1－d2)n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d<0，故A、B正确；因为{Sn}为递增数列，则d>0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－1<0，故C错误；对任意n∈N*，Sn均大于0时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列，D正确．答案：C二、填空题6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式为________．解析：由于Sn＝2n－an，所以Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后式减去前式，得Sn＋1－Sn＝2－an＋1＋an，即an＋1＝12an＋1，变形为an＋1－2＝12(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首项，12为公比的等比数列．又a1＝2－a1，即a1＝1.则an－2＝(－1)·(12)n－1，所以an＝2－(12)n－1.答案：2－(12)n－17．(2012年高考江西卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，4/7则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________．解析：利用“特殊值”法，确定公比．由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝a1（1－q5）1－q＝1－（－2）53＝11.答案：118．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市卫生部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，则11月________日，该市感染此病毒的新患者人数最多．解析：设该市11月n日新感染者有an人，在11月(x＋1)日开始控制病毒的传播，其中x∈N*，则由题意可知：an＝20＋50（n－1），1≤n≤x50x－30－30（n－x），x
