QSTFO3EO2DO1OABCPMQIRSTFO3EO2DO1OABC伪内切圆共点文武光华数学工作室潘成华田开斌褚小光几何题已知⊙1O、⊙2O、⊙3O是△ABC三伪内切圆，他们与△ABC外接圆⊙O分别内切于点D、E、F,⊙1O切AB、AC分别于S、T,BDC中点是Q.求证直线QD、ST、2O3O、EF共点证明我们先证明直线QD、ST、2O3O共点设ST、BC交于R、根据曼海姆定理可知EF中点就是△ABC内心，设为点I,易知△BSI∽△ITC,SI=IT,可知2IRRCRB(1)BSTIBISITCCI,进而2()BSBITCCI(2),根据Menelaus定理1ASBRCTBSCRAT,AS=AT,得到BSBRCTCR（2）,易知S、I、D、B四点共圆，I、T、C、D四点共圆，得到∠BDI=∠IDC,BDBSBRCDCTCR,直线QD是∠BDC外角平分线，有（1）、（2）因此Q、D、R共线，，因为BI⊥IP,CI⊥IM,得到∠PIC=∠BIM,于是∠PIR=∠IMR,得△MRI∽△IRP,因此PMQIRFTFO3EO2DO1OABC2()MRMIPRRI(3).我们证明232()OMMIOPRI(4),即证明3322OMOIICOPOIIB,等价于3232OMOPICOIOIIB,1sin112111sinsinsin222ABCACBABCACB,显然成立.根据（3）、（4）可知MRPR32OMOP，可知2O、3O、R共线.其次,证明EF过点R,因为2OE=2OP,3OF=3OM,OE=OF,于是332232231OROROEOPOFOFOROEOROM,根据Menelaus定理可知E、F、R共线.综上所述直线QD、ST、2O3O、EF共点
