第二章函数§2.1映射与函数基础知识自主学习要点梳理1．映射（1）定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的，在集合B中都有的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做的映射，记作f：A→B.（2）象和原象：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的,元素a叫做元素b的.任何一个元素唯一集合A到集合B象原象2．一一映射映射f：A→B为一一映射，需具备以下两个条件：(1)在映射f下，A中不同的元素在B中有不同的象；(2)B中每一个元素都有原象．3．函数（1）函数的定义设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.x的取值范围A叫做函数的，叫做函数的值域.(2)函数的三要素、和.(3)函数的表示法表示函数的常用方法：、、.任意一个数x都有唯一确定的数f(x)和它对应定义域函数值的集合{f(x)|x∈A}定义域值域对应关系解析法列表法图象法4．反函数(1)定义函数y＝f(x)(x∈A)中，设它的值域为C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x＝φ(y)．如果对于y在C中的，通过x＝φ(y)，x在A中都有和它对应，那么，x＝φ(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x＝φ(y)(y∈C)叫做函数y＝f(x)(x∈A)的，记作，习惯上用x表示自变量，用y表示函数，把它改写成.(2)互为反函数的函数图象的关系函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f－1(x)的图象关于直线对称．任何一个值唯一的值反函数x＝f－1(y)y＝f－1(x)y＝x[难点正本疑点清源]1．映射的特征映射是特殊的对应，其“特殊性”在于，它只能是“一对一”或“多对一”的对应，不能是“一对多”的对应．故判断一个对应是否为映射的方法是：首先检验集合A中的每个元素是否在集合B中都有象；然后看集合A中每个元素的象是否唯一．另外还要注意，映射是有方向性的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的．对映射定义搞清如下几点：(1)“对应关系”重在效果，未必要写出，可以“尽在不言中”；对应关系未必都能用解析式表达．(2)A中的每一个元素都有象，且唯一；B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一．(3)若对应关系为f，则a的象记为f(a)．2．函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．基础自测1．设一个函数的解析式为f(x)＝2x＋3，它的值域为{－1,2,5,8}，则此函数的定义域为______________．解析由函数的定义，结合函数的解析式可求．－2，－12，1，522．函数f(x)＝3x＋5，x∈[0,1]的反函数f－1(x)＝_________________.解析 y＝3x＋5，∴x＝y－53，对换x、y得y＝x－53.又0≤x≤1，∴5≤y≤8，∴f(x)的反函数为f－1(x)＝x－53，5≤x≤8.x－53，x∈[5,8]3．若函数f(x＋2)＝tanx，(x≥0)，lg(－x)，(x<0).则fπ4＋2·f(－98)＝________.解析 fπ4＋2＝tanπ4＝1，f(－98)＝f(－100＋2)＝lg100＝2，故fπ4＋2·f(－98)＝1×2＝2.点评运用“分段函数分段处理”的思想求解．24．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()A．①②③④B．①②③C．②③D．②解析由函数的定义，要使函数在定义域上都有图象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，③中值域为{y|0≤y≤3}不合题意．D5．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－3＋2－x是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝x2x与g(x)＝x是同一个函数．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析由函数的定义知①正确． 满足f(x)＝x－3＋2－x的x不存在，∴②不正确．又 y＝2x(x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，∴③不正确.又 f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．A题型分类深度剖析题型一对函数概念的准确理解例1试判断以下各组函...
