5.3概率5.3.5随机事件的独立性第五章统计与概率学习目标1.理解事件相互独立的概念，会判断两个事件是否相互独立.2.掌握相互独立事件的积的概率公式.3.能综合利用相互独立事件的积的概率解决实际问题.重点：事件相互独立的概念，相互独立事件的积的概率公式.难点：相互独立事件的积的概率公式的应用.知识梳理1.相互独立事件与互斥事件一般地，当P（AB）＝P（A）P（B）时，就称事件A与B相互独立（简称独立）.事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.相互独立事件是针对两个事件而言的.对于事件A，B，如果A与B的积事件，即A与B同时发生的概率等于事件A与事件B的概率的乘积，那么它们就是相互独立事件.即：如果P（AB）＝P（A）P（B），那么A与B相互独立.如果A与B相互独立，则必有P（AB）＝P（A）P（B）.若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也是相互独立的.两个事件是否相互独立的判断方法：（1）直观分析法：由事件本身的性质直观分析两个事件的发生是否相互影响；（2）定义法：若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立；（3）相互独立事件的性质法：若A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立.如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An），并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立，如P（A12A…1nAAn）＝P（A1）P（2A）…P（1nA）P（An）.2.相互独立事件的性质3.n个事件的相互独立两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A1，A2，…，An相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”.多个事件独立具有与两个事件独立类似的性质.例如，如果A1，A2，A3相互独立，则，A2，A3也相互独立等.4.常见相关事件的概率求法：若A，B相互独立，则相关事件概率求法A，B同时发生P（AB）＝P（A）P（B）A，B都不发生P（）＝［1-P（A）］·［1-P（B）］A，B恰有一个发生P［（）+（）］＝P（A）·［1-P（B）］+［1-P（A）］·P（B）A，B至少有一个发生P［（AB）+（）+（）］＝1-P（）＝1-［1-P（A）］·［1-P（B）］A，B至少有一个不发生P［（）+（）+（）］＝1-P（AB）＝1-P（A）P（B）ABABABABABABABABAB题型一相互独立事件的判断【例1】判断下列各对事件是否为相互独立事件.（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；（3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.常考题型【解题提示】（1）利用相互独立概念的直观解释进行判断.（2）计算概率判断两事件是否相互独立.（3）利用事件的独立性定义判断.【解】（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率是58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率是47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.（3）记事件A：出现偶数点，事件B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，所以P（A）＝36＝12，P（B）＝26＝13，P（AB）＝16.所以P（AB）＝P（A）·P（B），所以事件A与B相互独立.【归纳总结】判断两个事件相互独立的步骤（1）写出样本空间Ω以及A，B；（2）利用古典概型计算P（A），P（B）；（3）写出AB，并计算P（AB）；（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立，否则A与B不相互独立.训练题1.［2019·湖北武汉华中师大第一附中高二期中］分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个...
