高中数学 第4讲 矩阵特征值特征向量经典例题串讲素材 新人教A版选修4 2 素材VIP免费

矩阵特征值特征向量经典例题串讲知识要点矩阵几种常见平面变换逆矩阵逆变换矩阵应用特征值特征向量二阶矩阵与向量关系变换复合矩阵乘法特征值与特征向量1．设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得=A，那么成为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量．=abAcd是一个二阶矩阵，则2()()abfadadbccd，称为A的特征值多项式．2．一个特征值对应着多个特征向量.3．有了特征值和特征向量的知识，我们就可以方便地计算多次变换的结果.如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘以非零实数t后所得的新向量tα与向量α共线，故tα也是属于λ的特征向量．设α1和α2是矩阵M的两个特征向量且β=mα1+nα2，则Mnβ=m(λ1nα1)+n(λ2nα2)．典题剖析命题题源一求矩阵12－12的特征多项式．命题题源二求矩阵100－1的属于特征值－1的一个特征向量．技巧传播例1．求矩阵12－12的特征多项式．【解析】f(λ)＝1212＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4．例2．已知矩阵A的逆矩阵A－1＝－143412－12，求矩阵A的特征值【解析】因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝－143412－12，所以A＝(A－1)－1＝2321，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝2321＝λ2－3λ－4，令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4．例3．已知矩阵M＝221a，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4，0)．（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【解析】（1）由221a1－2＝－40，得2－2a＝－4a＝3．（2）由（1）知M＝2321，则矩阵M的特征多项式为f(λ)＝2321＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4．令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4，当λ＝－1时，(2)302(1)0xyxy，x＋y＝0，∴矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为1－1；当λ＝4时，(2)302(1)0xyxy，2x－3y＝0，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为32．例4．已知M＝1221，β＝17，计算M5β．【解析】矩阵M的特征多项式为f(λ)＝1221＝λ2－2λ－3．令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝11，α2＝1－1．令β＝mα1＋nα2，则m＝4，n＝－3，M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4×3511－3×(－1)51－1＝975969．例5．已知矩阵A＝abcd，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1＝11，属于特征值－1的一个特征向量为α2＝1－1，求矩阵A．【解析】由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1＝11，可得abcd11＝311，即33abcd，由矩阵A属于特征值2的一个特征向量为α2＝1－1，可得abcd1－1＝(－1)1－1，即11abcd，解得1221abcd，即矩阵A＝1221．例6．设矩阵M＝00ab（其中a>0，b>0）．（1）若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；（2）若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：2214xy，求a、b的值．【解析】（1）设矩阵M的逆矩阵M－1＝1122xyxy，则MN－1＝1001．又M＝2003，所以20031122xyxy＝1001，所以2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1，即x1＝12，y1＝0，x2＝0，y2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝120013．（2）设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到P′(x′，y′)，则00abxy＝x'y'，即axx'byy'，又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以2214x'y'，则222214axby为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故2241ab，又a>0，b>0，所以21ab．陷阱规避解题时需要注意以下几点：1．公式错用；2．计算基本功．