成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教B版·必修3概率第三章3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型第三章课堂典例讲练2课时作业5课前自主预习1易错疑难辨析3思想方法技巧4课前自主预习射箭比赛的箭靶涂有5个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭，假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？1.几何概型的概念与计算公式(1)事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图所示)，A的概率只与子区域A的____________________________成比例，而与A的______________无关，称满足以上条件的概率模型为几何概型．几何度量(长度、面积、体积)位置与形状注意：①古典概型适用于所有试验结果是有限个且结果是等可能出现的情况，而几何概型则适用于试验结果是无穷多的情形．②几何概型的特征：ⅰ)每个试验结果有无限多个，且全体结果可以用一个有度量的几何区域来表示；ⅱ)每次试验的各种结果是等可能的，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占总面积(总体积、长度)”之比来表示．(2)几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)＝μAμΩ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．2．几何概型的特点(1)________，在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)__________，每个结果的发生具有等可能性．无限性等可能性3．古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有______个，几何概型要求基本事件有________个．有限无限多1.(2014·湖南文，5)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A.45B．35C.25D．15[答案]B[解析]总长度为5，而满足条件的区间为[－2,1]，长为3，故概率为35.2．(2014·辽宁文，6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.π2B．π4C.π6D．π8[答案]B[解析]总面积为2×1＝2.半圆面积为12×π×12＝π2.∴p＝π22＝π4.3．(2015·山东文，7)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log12x＋12≤1”发生的概率为()A.34B．23C.13D．14[答案]A[解析]由－1≤log12(x＋12)≤1得，log122≤log12(x＋12)≤log1212，12≤x＋12≤2,0≤x≤32，所以，由几何概型概率的计算公式得，P＝32－02－0＝34，故选A.4．有一根长为1m的绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于18m的概率为________．[答案]34[解析]记“两截的长度都大于18m”为事件A，由几何概型的概率公式得P(A)＝68＝34.5．在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于14的概率是________．[答案]12[解析]由题意可知正方形的边长为1，记“△PAB的面积大于等于14”为事件M，由几何概型的概率公式得P(M)＝121＝12.6．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．[解析]在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．(1)P＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115.(3)P＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.课堂典例讲练取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，求剪得两段的长都不小于1m的概率．[解析]从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点，其基本事件有无限多个，显然不能用古典概型计算，可考虑运用几何概型计算．与长度有关的几何概型求法如图，记剪得两段绳子都不小于1m为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，所以事件A发生的概率P(...
