与利润及其成本有关的最值问题1【例】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？【解法1】根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则因为BD＝40，AC＝50－x，所以BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有：y＝30(5a－x)＋5ax2＋402(0＜x＜50)，y′＝－3a＋5axx2＋402，令y′＝0，解得x＝30，在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)所以供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．【解法2】设∠BCD＝θ，则BC＝40sinθ，CD＝40tanθ，(0＜θ＜π2)，所以AC＝50－40tanθ，设总的水管费用为f(θ)，依题意，有f(θ)＝3a(50－40tanθ)＋5a·40sinθ＝150a＋40a·5－3cosθsinθ，所以f′(θ)＝40a·5－3cosθ′·sinθ－5－3cosθ·sinθ′sin2θ＝40a·3－5cosθsin2θ，令f′(θ)＝0，得cosθ＝35，根据问题的实际意义，当cosθ＝35时，函数f(θ)取得最小值，此时sinθ＝45，所以tanθ＝43，所以AC＝50－40tanθ＝20(km)，即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力．问题关键在于建立数学模型和目标函数．本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，构造相应的函数关系．【变式练习1】某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的函数关系为P＝24200－1/5x2，且生产x吨该产品的成本为R＝50000＋200x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)．2321(24200)(50000200)512400050000(0)532400005200(200)xfxxxxxxxfxxxx每月生产吨产品时的利润为＝－－＋＝－＋－由＝－＋＝，得＝＝－【析】舍去解因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个极值点x＝200，故它就是最大值点，于是f(x)的最大值为f(200)＝－1/5×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．答：每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．效率最值问题【例2】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．已知AB＝20km，BC＝10km.为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO.记铺设管道的总长度为ykm.(1)设∠BAO＝θ(rad)，将y表示成θ的函数；(2)请你确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．.10coscos101010tancos10101010tancoscos2010sin10(0)c41osPOABQPQABÐBAOradAQOAOBOPyOAOBOPy延长交于点，则由条件知垂直平分线段若＝．则＝＝故＝，又＝－所以＝＋＋＝＋＋－－故所求函数关系式为＝＋【解析】22min10coscos(2010sin)(sin)10(2sin1)y'coscos1y0sin.0,.246(0)y0y6y10103.6PAB103AB2km.3令因为所以当时是的单调增函数所以当时此时点位于线段的中垂线上，在矩形区域内且距离边处＝，得＝＝，，，．，＝，＝＋解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数．本题求解的切入点在于根据图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法求出函数的最小值，便可确定点C的位置．【变式练习2】如图，用宽为a、长为b的三块木板，做成一个断面为梯形的水槽．问斜角为多大时，水槽的流量最大？最大流量是多少？222221()·.22cossin1[(2cos)]sinsin(1cos)(0)22(2coscos1)01(2coscos1)0coscos1.210cos1cos22SSABEDCDABaaCDaSaaaaaSaSa...
