几何概型几何概型考点串串讲1．几何概型的两个特点(1)无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；(2)等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(总体积、长度)”之比来表示．2．几何概型与古典概型的比较几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有限的，一个是无限的，基本事件可以抽象为点．对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，这个点落在区域内的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关．3．关于几何概型的计算(1)对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一种结果一一对应于该坐标系中的点，使得全体结果构成一个可度量区域．(2)古典概型和几何概型都是重要的概率模型．用古典概型求解的概率问题与用几何概型求解的概率问题的思路是相同的，同属于“比例解法”，都是在“等可能”的前提下．但这两种概型又有严格意义上的不同：古典概型中所有试验的基本事件个数是有限的，而几何概型中所有试验的基本事件个数是无限的，在具体问题的求解中要严格区分．(3)几何概型概率的计算步骤：①判断几何概率，尤其是判断等可能性，比古典概型更难于判断．②计算基本事件空间与事件A中所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)．这是计算的难点．③利用概率公式计算．4．常见的几种几何概型(1)与长度有关的几何概率的求法：①如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.②将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．③处理此类问题，判断基本事件应从“等可能”的角度入手，选择好观察角度．(2)与角度有关的几何概率的求法：①如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度.②解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．(3)与面积有关的几何概率的求法：如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.(4)与体积有关的几何概率的求法：①如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.②解此类问题一定要注意几何概型的条件.典例对对碰题型一与长度有关的几何概型例1在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？解析记事件A＝“弦长超过圆内接等边三角形的边长”．如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：P(A)＝12×22＝12.点评解决概率问题先判断模型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性．需要抓住它的本质特征，即与长度无关.变式迁移1点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．答案23解析设事件M为“劣弧AB的长度小于1”，则满足事件M的点B可以在定点A的两侧与定点A构成的弧长小于1的弧上随机取一点，由几何概型的概率公式得：P(M)＝23.题型二与角度有关的几何概型例2在圆心角为直角的扇形AOB中，在AB上任取一点P，则...
