函数的单调性22()()(1)1()xbfxfxxfx已知函数，【例】求导函数，并确定的单调区间．x(－∞，b－1)b－1(b－1,1)(1，＋∞)f′(x)－0＋－24332(1)(2)2(1)'()(1)2222[(1)](1)(1)()01.112()xxbxfxxxbxbxxfxxbbbxfx令＝，得【解析＝－当－，即时，、的变化】情况如下表：当b－1>1，即b>2时，x、f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)(1，b－1)b－1(b－1，＋∞)f′(x)－＋0－2()(1)(1,1)(1)2()(1)(11)(1)2112()()1(1)(1)bfxbbbfxbbbbfxfxx所以，当时，函数在－，－上单调递减，在－上单调递增，在，＋上单调递减．当时，函数在－，上单调递减，在，－上单调递增，在－，＋上单调递减当－＝，即＝时，，所以函数在－，上单调递减，在，＋上单调递减求函数的单调区间，先找出函数的极值点，再判断在极值点邻近函数的变化趋势．本题是用导数研究函数单调性的常见问题，由于参数b的大小直接影响函数的单调区间，因此要对b进行分类讨论．2()ln(2),()21xfxxfxa【变式练习已知函数求函数的单】调区间．2()(2)12'()2(2)02(2)()'()0(2)()(2)1fxxxxafxxaaxaxxxafxaxfx易知函数的定义域为，＋．当时【解析】，因为，所以所以函数在，＋上是增函数．0[(11)][(11)]'()(2)2()0211()011.()(2,11)(11)axaxafxaxxfxxafxxafxaa当时,因为，由，得；由，得＋所以在+上是增(2函数，在，+上是)减函数．函数的极值4321()2412752()[2]fxxxxcxccfxaaa已知函数＝＋－＋有三个极值点．证明：－；若存在实数，使函数在区间，＋上单调递减，求的取【例】值范围．【解析】(1)证明：依题意，得f'(x)＝x3＋3x2－9x＋c＝0有三个互异的实根．设g(x)＝x3＋3x2－9x＋c，则g'(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)．当x<－3时，g'(x)>0，则g(x)在(－∞，－3)上为增函数；当－3
1时，g'(x)>0，则g(x)在(1，＋∞)上为增函数．所以函数g(x)在x＝－3时取极大值，在x＝1时取极小值．当g(－3)≤0或g(1)≥0时，g(x)＝0最多只有两个不同实根．因为g(x)＝0有三个不同实根，所以g(－3)>0且g(1)<0，即－27＋27＋27＋c>0，且1＋3－9＋c<0，解得c>－27且c<5，故－27－3且a＋2<3，即－30)，若f(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围．【解析】因为函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－1(a>0)在R上为增函数，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋3≥0在R上恒成立，由Δ＝4a2－36≤0，所以a2≤9，所以0
