3.1.2用二分法求方程的近似解1．二分法的定义：对于区间[a，b]上________且________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间___________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点的近似值的方法，叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法求方程的近似解．连续不断f(a)·f(b)＜0一分为二零点2．二分法的求解过程中所选区间的长度尽量___，区间端点的函数值的符号______，最后满足区间长度______精确度才终止计算．相反小于3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)＜0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1＝_____.4．若在函数零点的附近两侧的函数值异号，称该零点为_______零点；若在函数零点的附近两侧的函数值同号，称该零点为________零点．二分法是求函数_____零点的方法．0.25变号不变号变号小重难点二分法(1)适用条件：函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号．．时，才能应用二分法求函数零点近似值．该条件表明二分法可求近似值的函数零点都是变号零点．．．．．(2)给定精度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0；②求区间(a，b)的中点x1；③计算f(x1)．若f(x1)＝0，则x1是函数的零点，若f(a)·f(x1)＜0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))，若f(x1)·f(b)＜0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④步骤．二分法的适用条件例1：如图1，函数的图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求交点横坐标的是()D图1A．①B．①③C．②③D．①④思维突破：二分法的理论依据是零点存在性定理，因此必须满足零点两侧函数值异号．①④零点两侧函数值同号，即不满足f(a)·f(b)＜0，则不能用二分法求解．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图象是连续的即可．1－1.图2是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是()B图2A．(－2.1，－1)C．(4.1,5)B．(1.9,2.3)D．(5,6.1)解析：只有B中的区间所含零点是不变号零点．1－2.下列函数中，函数_____能用二分法求其近似零点．①y＝2x＋3；②y＝x2＋2x＋1；③y＝－3＋lgx.①③用二分法求方程的近似解例2：先用求根公式求出方程3x2－4x－1＝0的解，然后再借助计算器或计算机，用二分法求出这个方程的近似解(精确度为0.1)．思维突破：按二分法求近似解的步骤进行求解即可．解析：根据函数的图象可知，①③的零点是变号零点，②的零点是不变号零点．x－10123f(x)6－1－2314下面用二分法求方程的根的近似值．令f(x)＝3x2－4x－1，作出x、f(x)的对应值(如表)与图(如图3).图3解：方程3x2－4x－1＝0的根为x＝2±73.观察图象及表可知，此方程有两个根，一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内．若x0(∈－1,0)，取区间(－1,0)的中点x1＝－0.5，则f(－0.5)＝1.75. f(－0.5)·f(0)<0，∴x0(∈－0.5,0)．再取区间(－0.5,0)的中点x2＝－0.25，算得f(－0.25)＝0.1875， f(－0.25)·f(0)<0，∴x0(∈－0.25,0)．同理，可得x0(∈－0.25，－0.125)，x0(∈－0.25，－0.1875)，x0(∈－0.21875，－0.1875)，由于|0.21875－0.1875|＝0.03125<0.1，∴可以把x0＝－0.21875作为方程3x2－4x－1＝0的一个根的近似值．同理，若x0(1,2)∈时，方程的根的近似值为1.53125.综上，方程3x2－4x－1＝0的根的精确值为x＝2±73，近似值为－0.21875或1.53125.用二分法求方程的近似解的关键：①判断是否可用二分法；②初始区间的选取，符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小；③随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．2－1.设f(x)＝2x＋x－2，用二分法求方程2x＋x－2＝0在(0,1)内近似解的过程中得f(0)＜0，f(1)＞0，f(0.5)＜0，则方程的根落在区间()A．(0,0.5)C．不能确定B．(0.5,1)D．都不正确B2－2.用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.01)．解：设f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所...
