高中数学(3.4 基本不等式)课件 新人教A版必修5 课件VIP免费

第一课时3.4基本不等式2abab问题提出1.不等式有许多基本性质，同时还有一些显而易见的结论，如a2≥0，|a|≥0，|a|≥a等，这些性质都是研究不等式问题的理论依据.在实际应用中，我们还需要有相应的不等式原理.2.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.在这个图案中既有一些相等关系，也有一些不等关系，对这些等与不等的关系，我们作些相应研究.探究（一）:基本不等式的原理|a－b|22ab22ab思考1：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形ABCD和EFGH的边长分别为多少？ABCDEFGH思考2：图中正方形ABCD的面积与4个直角三角形的面积之和有什么不等关系？由此可得到一个什么不等式？a2＋b2≥2ab思考3：从图形分析,上述不等式在什么情况下取等号？当直角三角形为等腰直角三角形，即a＝b时，a2＋b2＝2ab.ABCDEFGH思考4：在上面的图形背景中，a,b都是正数，那么当a，b∈R时，不等式a2＋b2≥2ab成立吗？为什么？一般地，对于任意实数a，b，有:a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.ABCDEFGH思考5：特别地，如果a＞0，b＞0，我们用、分别代替a、b，可得什么不等式?当且仅当a＝b时等号成立.aab2abab(>0,>0)2abababa思考6：不等式称为基本不等式，它沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用，你能用分析法证明吗？(>0,>0)2ababab思考7：我们称和分别为a，b的算术平均数和几何平均数，如何用文字语言表述基本不等式？两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2ab+2ab+ab思考8：如图，在直角三角形ABC中，CD为斜边上的高，CO为斜边上中线，你能利用这个图形对基本不等式作出几何解释吗？2ab+ABCDO探究（二）：基本不等式的变通思考1：将基本不等式两边平方可得什么结论？它与不等式a2＋b2≥2ab有什么内在联系？2abababba2)2(思考2：在不等式a2＋b2≥2ab两边同加上a2＋b2可得什么结论？所得不等式有什么特色？000cbxaxy20a)(,2121xxxx它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关系，称为平方平均不等式，其数学意义是：两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方.222)2(2baba思考3:将不等式两边同乘以，可变通出一些什么结论？2(0,0)abababab211abab³+baabab2baab112理论迁移例1已知x、y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3Æ例2已知a2＋b2＋c2＝1，求证：(a＋b＋c)3≤3.小结作业2.基本不等式有多种形式，应用时具有很大的灵活性，既可直接应用也可变式应用.一般地，遇到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常利用基本不等式处理1.不等式a2＋b2≥2ab与都是基本不等式，它们成立的条件不同，前者a、b可为任意实数，后者要求a、b都是正数，但二者等号成立的条件相同.2abab3.当a、b都是正数时，有不等式链作业：P100习题3.4A组：1，2.baabbaba1122222第二课时3.4基本不等式2abab问题提出1.基本不等式有哪几种基本形式？（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时等号成立；（2）(a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立；2abab（3）(a＞0，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立；222()22abab++³2.函数的最大值和最小值的含义分别是什么？3.在一定条件下，利用基本不等式可以求出变量的极端值，因此，利用基本不等式求最值就成为一种重要的数学方法.最大值:f(x)≤M，且等号成立;最小值:f(x)≥m，且等号成立.探究（一）：基本不等式与最值原理思考1：在基本不等式(a＞0，b＞0)中，如果a·b＝P为定值，能得到什么原理？2abab原理一：若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值.思考2：在基本不等式(a＞0，b＞0)中，如果a＋b＝S为定值，又能得到什么原理？2abab原理二：若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值.思考3：能否由得函数的最小值是2吗？1yxx=+2121xxxx思考4：当x≥4时,能...