高中数学 第二章 23 幂函数课件 新人教A版必修1 课件VIP专享VIP免费

1．幂函数的定义：形如____________的函数称为幂函数，其中____是自变量，____为常数．x2．下列函数中是幂函数的是______.①⑥2.3幂函数①y＝x-1；②y＝15x＋x3；③y＝(x－1)2；④y＝3x2；⑤y＝1；⑥y＝xπ.y＝xa(a∈R)图13．幂函数的图象：在同一坐标系中，幂函数y＝x；y＝x2；y＝x3；y＝12x；y＝1x的图象如图1.4．幂函数的性质：5.当α>0时，幂函数y＝xa的图象都过定点____________．6．当α<0时，当x(0,∈＋∞)时，y＝xa的函数值随x的增大而______，向右图象与x轴___________．(0,0)，(1,1)减小无限接近重点幂函数的概念形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：①系数为1，②指数为常数，③后面不加任何项．例如：y＝3x、y＝xx+1、y＝x2+1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，如y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．幂函数的定义、图象思维突破：由幂函数定义用待定系数法确定指数，由指数(有理数)、分子、分母奇偶情况分析性质．例1：已知幂函数的图象过点P12，4.(1)求y＝f(x)的解析式；(2)讨论y＝f(x)的定义域、值域、奇偶性、单调性、并画出草图．解：(1)设f(x)＝xn，由题得12n＝4，∴2－n＝22.∴n＝－2.∴f(x)＝x－2.(2)f(x)＝1x2，∴函数定义域是(－∞，0)∪(0＋∞)．∵x≠0，x2>0，∴f(x)>0，即函数值域为(0，＋∞)．又f(－x)＝1－x2＝1x2＝f(x)，∴f(x)是偶函数．当00，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．∵f(x)是偶函数，f(x)图象关于y轴对称，∴f(x)在(－∞，0)上是增函数．图象大致如图2.图2函数如具有奇偶性，应先分析(0，＋∞)上的单调性，再由奇偶性得出(－∞，0)上的单调性．1－1.已知幂函数f(x)＝x3-m，其中m>－1，且m∈Z，若f(x)是偶函数，且f(3)0，∴m<3.又∵－1－0.5，∴0.80.5<0.8－0.5，即0.70.5<0.80.5<0.8－0.5.例2：比较0.70.5,0.80.5,0.8－0.5的大小．思维突破：借助幂函数或指数函数的单调性解决．2－1.比较120.7，0.63，(0.98)-1的大小．解：作出y＝12x，y＝x3，y＝x-1的图象，可知1>120.7>120.6，又120.6>0.63，(0.98)－1>1，∴0.63<120.7<(0.98)－1.单调性、奇偶性的应用——求范围问题注意定义域的约束条件，否则就会导致所求的范围扩大．例3：已知1122(4)(32)mm，求m的取值范围．思维突破：利用单调性，把不等式转化为简单不等式．解：∵y＝12x的定义域为(0，＋∞)，且为减函数．∴原不等式化为m＋4>03－2m>0m＋4>3－2m，解得－130a－1<0；②a－1>03－2a>0a－1>3－2a；③a－1<03－2a<0a－1>3－2a.解①得a<1；解②得43x2，但y1＝12，y2＝-1.y1>y2不符合减函数的定义，因此在这两个区间中并不一定是减函数．