信息论基础与编码(第五章)5-1有一信源，它有六种可能的输出，其概率分布如下表所示，表中给出了对应的六种编码12345CCCCC、、、、和6C。（1）求这些码中哪些是唯一可译码；（2）求哪些是非延长码（即时码）；（3）对所有唯一可译码求出其平均码长。消息概率1/20000001011/40010110100000011/1601001111011010011001/160110111111011000101011/16100011111111010011101101101111/160111111111101111011解：（1）1,2,3,6是唯一可译码；(2)1,3,6是即时码。5-2证明若存在一个码长为12,,,qlll的唯一可译码，则一定存在具有相同码长的即时码。证明：由定理可知若存在一个码长为的唯一可译码，则必定满足kraft不等式1。由定理4可知若码长满足kraft不等式，则一定存在这样码长的即时码。所以若存在码长的唯一可译码，则一定存在具有相同码长P（y=0）的即时码。5-3设信源126126()sssSpppPs，611iip。将此信源编码成为r元唯一可译变长码（即码符号集12{,,,}rXxxx），其对应的码长为（126,,,lll）=（1，1，2，3，2，3），求r值的最小下限。解：要将此信源编码成为r元唯一可译变长码，其码字对应的码长（l1,l2,l3,l4,l5,l6）=(1,1,2,3,2,3)必须满足克拉夫特不等式，即LqLL,,2,1qilir14LqLL,,2,1132321161rrrrrrrili所以要满足122232rrr，其中r是大于或等于1的正整数。可见，当r=1时，不能满足Kraft不等式。当r=2,1824222，不能满足Kraft。当r=3,127262729232，满足Kraft。所以，求得r的最大值下限值等于3。5-4设某城市有805门公务电话和60000门居民电话。作为系统工程师，你需要为这些用户分配电话号码。所有号码均是十进制数，且不考虑电话系统中0、1不可用在号码首位的限制。（提示：用异前缀码概念）（1）如果要求所有公务电话号码为3位长，所有居民电话号码等长，求居民号码长度1L的最小值；（2）设城市分为A、B两个区，其中A区有9000门电话，B区有51000门电话。现进一步要求A区的电话号码比B区的短1位，试求A区号码长度2L的最小值。解：(a)805门电话要占用1000个3位数中的805个，即要占用首位为0～7的所有数字及以8为首的5个数字。因为要求居民电话号码等长，以9为首的数字5位长可定义10000个号码，6位长可定义100000个号码。所以minL16。或由Craft不等式，有805106000010131L解得L1103180510600005488log.，即minL16(b)在(a)的基础上，将80为首的数字用于最后5个公务电话，81～86为首的6位数用于B区51000个号码，以9为首的5位数用于A区9000个号码。所以，minL25。或由Draft不等式，有80510900010510001013122LL()或8051090005100010101312()L解得L2103180510900051004859log.即minL255-5求概率分布为)152,152,51,51,31(的信源的二元霍夫曼码。讨论此码对于概率分布为)51,51,51,51,51(的信源也是最佳二元码。解：信源的概率分布为：)152,152,51,51,31()(isp二元霍夫曼码：00，10，11，010，011，码长：2，2，2，3，3当信源给定时，二元霍夫曼码是最佳二元码。所以对于概率分布为)51,51,51,51,51(的信源，其最佳二元码就是二元霍夫曼码。这二元霍夫曼码一定是三个信源符号的码长为2（码符号/信源符号），另二个信源符号的码长为3（码符号/信源符号），其平均码长最短。因此，上述对概率分布为)152,152,51,51,31(信源所编的二元霍夫曼码也是概略分布为)51,51,51,51,51(信源的最佳二元码。5-6设二元霍夫曼码为（00，01，10，11）和（0，10，110，111），求出可以编得这些霍夫曼码的信源的所有概率分布。解：由题意假设信源所发出的是个符号的概率为)P(S)P(S)P(S)P(S1234由霍夫曼编码的特点知：1)P(S)P(S)P(S)P(S1234根据霍夫曼编码的方法，每次概率最小的两个信源符号合并成一个符号，构成新的缩减信源，直至最后只剩两个符号。而且当缩减信源中的所有符号概率相等时，总是将合并的符号放在最上面。所以，对于二元霍夫曼码为（00，01，10，11）来说，每个信源都要缩减一次，所以34()()PSPS要大于1()PS和2()PS，这时必有12111P(S)P(S),P(S)33同理对于二元霍夫曼码为（0，10，110，111）有34111P(S)P(S),P(S)>33信源概率分布满足以上条件则其霍夫曼编码符合题意。5-7设一信源有K=6个符号，其概...
