3.3幂函数目标导航课标要求1.了解幂函数的概念.2.掌握a=1,2,3,,-1时的五个幂函数的图象与性质.素养达成通过幂函数概念及图象、性质的学习,培养直观想象、数学建模的核心素养.12新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入情境导学知识探究1.一般地,形如(α∈R)的函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数.2.幂函数随着α的取值不同,它们的定义域、性质和图象也不尽相同,但它们有一些共同的性质:(1)所有的幂函数在上都有定义,并且图象都通过点.(2)如果α>0,则幂函数的图象通过,并且在区间[0,+∞)上是.xy=xαα(0,+∞)(1,1)原点增函数(3)如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是.在第一象限内,当x从右边趋于原点时,图象在y轴右方无限地逼近轴,当x趋向于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.(4)如果幂函数图象过第三象限,则一定过点.减函数y(-1,-1)【拓展延伸】各种幂函数的图象和性质当指数α=1时,y=x的图象是直线;当α=0时,y=x0=1是断直线(除点(0,1)),除此以外幂函数的图象都是曲线.α=pqα<00<α<1α>1奇偶性在(0,+∞)上的单调性p,q都是奇数奇函数p是偶数q是奇数偶函数p是奇数q是偶数非奇非偶α<0单调递减α>0单调递增幂函数y=xα的图象在第一象限内具有如下特征:直线x=1,y=1,y=x将直角坐标平面在第一象限的直线x=1的右侧分为三个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ,如图.则α∈(1,+∞)y=x⇔α的图象经过区域Ⅰ内;α∈(0,1)y=x⇔α的图象经过区域Ⅱ内;α∈(-∞,0)y=x⇔α的图象经过区域Ⅲ内.并且在直线x=1的右侧,从x轴起,幂函数y=xα的指数α由小到大递增,即“指大图高”“指小图低”,在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.自我检测1.下列所给出的函数中,是幂函数的是()(A)y=-x3(B)y=x-3(C)y=2x3(D)y=x3-1B解析:由幂函数的定义知,只有B符合.2.当α∈11,,1,32时,幂函数y=xα的图象不可能经过的象限是()(A)第二象限(B)第三象限(C)第四象限(D)第二、四象限D解析:当α=-1,1,3时,y=xα过第一、三象限,当α=12经过第一象限.故选D.3.若幂函数f(x)=xα在(0,+∞)上是增函数,则()(A)α>0(B)α<0(C)α=0(D)α的大小不能确定解析:当α>0时,f(x)=xα在(0,+∞)上是增函数,选A.A4.幂函数y=23x的定义域为;其奇偶性是.答案:(-∞,+∞)偶函数解析:因为y=23x=32x,所以函数的定义域为(-∞,+∞),且为偶函数.类型一幂函数的概念课堂探究·素养提升【例1】(2018·江西九江一中月考)已知函数f(x)=ax2a+1+b+1是幂函数,则a+b等于()(A)2(B)1(C)12(D)0解析:因为函数f(x)=ax2a+1+b+1是幂函数,所以1,10,ab即1,1,ab所以a+b=0,故选D.方法技巧根据幂函数的解析式特征求解.幂函数解析式的结构特征:(1)解析式是单项式;(2)幂指数为常数,底数为自变量,系数为1.变式训练1-1:(1)如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m的取值是()(A)-1≤m≤2(B)m=1或m=2(C)m=2(D)m=1(2)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(9,3),则f(100)=.解析:(1)由幂函数的定义知m2-3m+3=1,所以m=1或m=2.又图象不过原点,所以m2-m-2≤0,经验证m=1或m=2均适合.所以选B.(2)由已知设f(x)=xα,则f(9)=9α=3,所以α=12,所以f(100)=12100=100=10.答案:(1)B(2)10类型二幂函数的图象【例2】给定一组函数解析式:①y=34x;②y=23x;③y=32x;④y=23x;⑤y=32x;⑥y=13x;⑦y=13x及如图所示的一组函数图象.请把图象对应的解析式号码填在图象下面的括号内.思路点拨:根据幂函数的图象特征确定相应的图象.解析:由第一、二、三个图象在第一象限的单调性知,α<0,而第一个图象关于原点对称,为奇函数,第二个图象关于y轴对称,为偶函数;第三个在y轴左侧无图象,故这三个图象分别填⑥④③.由第四、五、六个图象在第一象限的特征知,0<α<1,再由其奇偶性及定义域知这三个图象应依次填②⑦①.第七个图象对应的幂指数大于1,故填⑤.答案:⑥④③②⑦①⑤方法技巧由图象确定解析式时:先根据幂函数在第一象限内的图象特征,确定幂指数α的取值区间(即在(-∞,0),(0,1),(1,+∞)内哪一个取值);再根据图象在y轴左侧有无图象确定函数的定义域,进而研究α=nm中分母“m”的奇偶性;当图象在y轴左侧有图象时,再研究其图象关于y轴(或原点)的对称性,从而确定函数的奇偶性,进而确定幂...
