7.2复数的四则运算第七章复数学习目标1.能进行复数代数形式的四则运算.2.了解两个具体复数相加、相减的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.重点:复数的代数形式的加、减法运算,复数加、减运算的几何意义.难点:复数减法的运算法则.知识梳理1.复数的加法法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的和(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(1)两个复数相加,类似于两个多项式相加.(2)复数的加法满足交换律、结合律.(3)复数的加法法则可推广到多个复数相加的情形.2.复数加法的几何意义一.复数的加法设1OZ�,2OZ�分别与复数a+bi,c+di对应,则两个向量1OZ�与2OZ�的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.如图7.2-1(向量1OZ�与2OZ�不共线时),这就是复数加法的几何意义(就是向量加法的平行四边形法则).图7.2-1二.复数的减法1.复数的减法法则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.2.两个复数相减,类似于两个多项式相减.3.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部部分分别相加(减)两个复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是1OZ�,2OZ�,那么这两个复数的差z1-z2对应的向量是1OZ�-2OZ�,即向量21ZZ�.如果作OZ�=21ZZ�,那么点Z对应的复数就是z1-z2(如图所示),即复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.这是复数减法的几何意义(就是平面向量减法的三角形法则).4.复数减法的几何意义三.复数的乘法1.复数的乘法法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.2.复数乘法的运算律对于任意z1,z2,z3∈C,有(1)交换律:z1z2=z2z1,(2)结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3),(3)分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.请思考:若z1,z2是共轭复数,那么z1+z2,z1-z2,z1·z2分别是怎样的数?提示:设z1=a+bi,则z2=a-bi(a,b∈R),从而z1+z2=(a+bi)+(a-bi)=2a∈R.z1-z2=(a+bi)-(a-bi)=2bi,z1·z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2∈R.即z·z=|z|2=|z|2=|z2|这是复数模的一个常用性质,也是共轭复数的一个性质.二、复数的除法复数除法的法则(a+bi)÷(c+di)=22acbdcd+22bcadcdi(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).说明:在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成abicdi的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数c-di(使分母“实数化”),化简可得上面的结果.一.复数的加、减运算常考题型<1>复数的加法与减法运算例1(1)1132i+(2-i)-4332i=.(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,则z=.【解析】(1)1132i+(2-i)-4332i=14233+13122i=1+i.(2)方法一:设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.方法二:因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.【答案】(1)1+i(2)4+i训练题1[2019·天津重点中学高三联考]已知z1=3+i,z2=1+5i,则复数z=z2-z1对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限训练题2[2019·福建厦门高三模拟]已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=.2.答案:3i解析:设z=x+yi(x,y∈R), x2+y2=32,且z+3i=x+yi+3i=x+(y+3)i是纯虚数,∴03.xy,∴z=3i.1.答案:B解析:z=z2-z1=(1+5i)-(3+i)=-2+4i.【技巧点拨】进行复数加、减运算时:(1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.(2)把i看作一个字母,类比多项式加、减运算中的合并同类项.(3)复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.【注意】(1)复数z=a+bi(a,b∈R)对应的点为(a,b).(2)当已知|z|求解复数z时,一般用待定系数法求解,需设z=a+bi(a,b∈R).<2>复数加、减法的几何意义例2.如图7-2-1,已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i...