第2讲三角变换与解三角形感悟高考明确考向(2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝3030＝1(小时)．故救援船到达D点需要1小时．考题分析本题以实际问题为背景考查考生的应用意识，建模能力，综合运用正、余弦定理进行运算求解的能力．本题题干较长，名词较多，需将其转化为解三角形问题．易错提醒(1)将题干中的数据与三角形中的边、角对应时，易出错．尤其是方位角与三角形的内角进行转换时，易出错．(2)正弦定理、余弦定理的应用条件把握不准，易用错定理．(3)运算易出错．主干知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.6．面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．热点分类突破题型一三角变换及求值例1(1)已知0<β<π2<α<π，且cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．思维启迪(1)(α－β2)－(α2－β)＝α＋β2；(2)α＝(α－β)＋β，2α－β＝α＋(α－β)．解(1) 0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos(α2－β)＝1－sin2(α2－β)＝53，sin(α－β2)＝1－cos2(α－β2)＝459，∴cosα＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)＝(－19)×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tanβ1－tan(α－β)tanβ＝12－171＋12×17＝13，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tan(α－β)1－tanαtan(α－β)＝13＋121－13×12＝1. tanα＝13>0，∴0<α<π2，∴0<2α<π.又tan2α＝2tanα1－tan2α＝34>0，∴0<2α<π2. tanβ＝－17<0，∴π2<β<π，∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4.探究提高(1)注意角的变换，(α－β2)－(α2－β)＝α＋β2；(2)先由tanα＝tan[(α－β)＋β]，求出tanα的值，再求tan2α的值，这样能缩小角2α的取值范围；(3)善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化．变式训练1已知α∈(π2，π)，...
