知识梳理1．平面的基本性质(1)三个公理公理1如果一条直线上的点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2过的三点，有且只有一个平面．公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线．不在一条直线上两一条(2)平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．空间中直线与直线的位置关系(1)空间两条直线的位置关系有且只有三种：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：在同一平面内，没有公共点；(2)空间平行线的传递性：公理4平行于同一条直线的两条直线．(3)异面直线所成的角①等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角．②异面直线所成的角的定义已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说．③异面直线所成角的范围互相平行相等或互补锐角(或直角)这两条直线互相垂直.20，探究点1面的基本性质的应用要点探究例1下列命题：①空间中不同的三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是________．【思路】①②③④用公理作出判断，⑤⑥注意与平面几何的区别．【答案】④【解析】由公理2知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①②均错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面；若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图37－1所示．⑥如图37－2四边形AD′B′C中，AD′＝D′B′＝B′C＝CA，但它不是平行四边形，所以⑥也错.正确的命题只有④.探究点2三点共线与三线共点问题例2如图37－3所示，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.求证：点P，Q，R在同一条直线上．3【解答】由已知AB的延长线交平面α于点P，根据公理3，平面ABC与面α必有交线，设为l. P∈直线AB，∴P∈面ABC.又 AB∩面α＝P，∴P∈面α，∴P是面ABC与面α的公共点． 面ABC∩面α＝l，∴P∈l.同理Q∈l，R∈l，∴P、Q、R三点共线．【思路】要证三点共线，就要证三个点是两个相交平面的公共点．【点评】证三点共线，就是证点P∈α，且P∈面ABC，则P在面α与面ABC的交线上，从而证明点共线问题．例3如图37－4所示，已知在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且求证：直线EG，FH，AC相交于一点．GCBG2.CHDH【解答】 E，F分别是AB，AD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，∴GH∥BD，GH＝BD，∴四边形EFHG是梯形，设两腰EG，FH相交于点T. EG平面ABC，FH平面ACD，∴T∈平面ABC，且T∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴T∈AC，∴直线EG，FH，AC相交于一点T.2.CHDHGCBG2131【点评】三线共点问题，常用的方法是：证在其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上，这样就可将问题转化为证明三点共线．探究点3点线共面问题【思路】运用公理1，公理2进行证明．例4空间四条直线，每两条都相交，每三条不共点，求证：这四条直线共面．【解答】已知：直线a、b、c、d，a与b相交，a∩c＝A，b∩c＝B(如图37－5)．求证：直线a，b，c，d共面．证明： a与b相交，∴直线a、b确定一平面α.又 a∩c＝A，∴A∈a.【点评】证明点共面、线共面问题的方法有：①先确定一个平面，再证明有关点线在此平面内；②过有关点、线分别作多个平面，再证明这些平面重合；③反证法．又 a平面α，∴A∈平面α.同理B∈平面α.又 A∈直线c，B∈直线c，∴直线c平面α.同理得直线d平面α，即a，b，c，d四条...
