高中数学 32(立体几何中的向量方法(三))课件 新人教B版选修2-1 课件VIP免费

3.2利用向量解决空间角问题空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。123(,,)aaaa1.若，123(,,),bbbb则：数量积：ab112233ababab夹角公式：cosab111222(,,),(,,)AxyzBxyz2.若，则：212121(,,)xxyyzzAB�||||abab112233222222123123abababaaabbb||||cos,abab异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,CDAB�与的关系？思考：,DCAB�与的关系？结论：coscos,CDAB�||题型一：线线角例一：090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F题型一：线线角解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD所以：11(,0,1),2AF�111(,,1)22BD�11cos,AFBD�1111||||AFBDAFBD��113041053421BD1AF所以与所成角的余弦值为3010题型一：线线角练习：题型一：线线角在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA1112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM�1(0,8,4),AD�10AMAD�＝1.ADAM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M题型二：线面角直线与平面所成角的范围：[0,]2ABO,nBA��与的关系？思考：n结论：sincos,nAB��||题型二：线面角直线AB与平面α所成的角θ可看成是向量与平面α的法向量所成的锐角的余角，所以有nABnABnAB,cossin例二：题型二：线面角在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD�1(0,8,4),AD�ADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,ADAD�255ADANM与平面所成角的正弦值是255练习：1111ABCDABCD的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角题型二：线面角正方体ABCD1A1B1C1D题型三：二面角二面角的范围：[0,]1n�2n�2n�1n�cos12|cos,|nn�cos12|cos,|nn�ABO关键：观察二面角的范围题型三：二面角,1,1,,2.AABCDSAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDS,1,1,,2.AABCDSAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解：建立空直角坐系A-xyz如所示,A(0,0,0),11(1,,0),(0,,1)22CDSD�C(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,,0)2SBAnAD��易知面的法向量设平面2(,,),SCDnxyz�的法向量22,,nCDnSD�由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n�任取1212126cos,3||||nnnnnn���63即所求二面角得余弦值是小结：1.异面直线所成角：coscos,CDAB�||2.直线与平面所成角：sincos,nAB��||3.二面角：cos12|cos,|nn�关键：观察二面角的范围ABCD1DABOn1n�2n�cos12|cos,|nn�