2.3幂函数学习目标要求栏目导航问题情境导学课堂互动探究课堂归纳总结1.通过实例了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1𝑥,y=𝑥12的图象,了解它们的变化情况.3.能正确应用幂函数的知识解决相关问题.4.能应用对比、类比的思想方法同化新知.【实例】请用描点法在同一平面直角坐标系中画出初中已熟知的函数y=x,y=x2,y=1𝑥的图象,并观察它们的共同特点.解:这些函数都是以幂的底数为自变量,指数为常数,它们的图象都过点(1,1).一、幂函数的概念1:仿效指数函数、对数函数的解析式,你能否归纳出实例中此类函数的统一表达式?(都可以表示为y=xa(a为常数)的形式)1:幂函数的概念一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.1:(1)幂函数的定义与指数、对数函数的定义存在什么共性?(①它们都是形式化定义,其解析式都具有严谨的形式特征,如对幂函数而言,形如y=mxα,y=(mx)α,y=xα+m,y=(x+m)α(以上m均为不等于0或1的常数)的函数都不是幂函数,二次函数中只有y=x2是幂函数,其他的二次函数都不是幂函数.同理,一次函数中只有y=x是幂函数;②它们的解析式中都只含有一个参数,在求函数解析式时,若已知函数类型,则可利用待定系数法求解)(2)幂函数的定义与指数、对数函数的定义存在什么区别?(①幂函数的底数为自变量,指数为常数,而指数函数的底数为常数,指数为自变量;②指数、对数函数的定义域都是唯一确定的,而幂函数的定义域却不尽相同)二、幂函数的图象2:幂函数y=x3、y=𝑥12的图象有何特征?(y=x3的图象穿过第一、三象限,y=𝒙𝟏𝟐的图象只分布在第一象限)在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=𝑥12,y=x-1的图象如图.2:以上5个幂函数的图象有何共性与特性?((1)共性:都经过定点(1,1);都不经过第四象限.(2)特性:当α>0时,图象都经过原点;当α>1时,第一象限内的图象下凸;当0<α<1时,第一象限内的图象上凸)三、幂函数的性质3:指数、对数函数在其定义域上都是单调函数,幂函数呢?(不一定,如幂函数y=x2在其定义域上就不具备单调性,即幂函数的单调性取决于幂指数的取值)2:幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域RRR[0,+∞){x|x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0,+∞)时,增x∈(-∞,0]时,减增增x∈(0,+∞)时,减x∈(-∞,0)时,减3:在第一象限内,幂函数y=xα的单调性可以如何分类?(在区间(0,+∞)上,当α>0时,y=xα是增函数;当α<0时,y=xα是减函数)幂函数的概念【例1】下列函数:①y=x3;②y=(12)x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=ax(a>1).其中幂函数的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B.幂函数解析式具有什么结构特征?((1)解析式是单项式;(2)幂指数为常数,底数为自变量,系数为1)变式训练11:函数y=(a2+1)𝑥11-𝑎2是幂函数,求a的值.解:根据幂函数的定义知,若y=(a2+1)𝒙𝟏𝟏-𝒂𝟐是幂函数,则有ቊ𝒂𝟐+𝟏=𝟏,𝟏-𝒂𝟐≠𝟎,解得a=0.幂函数的图象【例2】幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:①②③④⑤⑥⑦⑧(如图所示),那么幂函数y=𝑥12的图象经过的“卦限”是()(A)④⑦(B)④⑧(C)③⑧(D)①⑤名师导引:区分图象经过的卦限需参照图象的哪些特征?(单调性与凹凸性)解析:幂函数y=𝒙𝟏𝟐的图象过点(1,1),且上凸递增,所以经过①⑤两个卦限,故选D.幂函数y=xα的图象在第一象限有哪些不同类型?各有什么基本特征?(有3种不同类型,其基本特征为:(1)当α>1时,图象过点(0,0),(1,1),下凸递增.(2)当0<α<1时,图象过点(0,0),(1,1),上凸递增.(3)当α<0时,图象过点(1,1),以坐标轴为渐近线递减)变式训练21:如图,图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的大致图象,已知α取-2,-12,12,2四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α的值依次为()(A)-2,-12,12,2(B)2,12,-12,-2(C)-12,-2,2,12(D)2,12,-2,-12解析:令x=2,则22>𝟐𝟏𝟐>𝟐-𝟏𝟐>2-2,故相应于曲线C1,C2,C3,C4的α值依次为2,𝟏𝟐,-𝟏𝟐,-2.故选B.幂函数的性质【例3】比较下列各组数中两个数的大小.(1)(25)0.5与(13)0.5;(2)(-23)-1与(-35)-1;(3)(23)34与(34)23.名师导引:各组数中谁为变量?可以...
