第2课时零点的存在性及其近似值的求法1.函数零点存在定理(1)条件：函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，并且f(a)f(b)<0.(2)结论：函数y=f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)=0.【思考】(1)函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间[a，b]上的零点个数？提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数.(2)函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0？提示：不一定，如f(x)=x2在区间(-1，1)上有零点0，但是f(-1)f(1)=1×1=1>0.2.二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法.【思考】能否用二分法求方程的近似解？提示：能，方程的根即为函数的零点.3.用二分法求函数零点近似值的步骤给定精度ε，用二分法求函数f(x)零点x0近似值x1，使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下：第一步，检查|b-a|<2ε是否成立，如果成立，取x1=，计算结束，如果不成立转到第二步；ab2第二步，计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f()=0，取x1=，计算结束；若f()≠0，转到第三步；第三步，若f(a)·f()<0，将→b，回到第一步；否则必有f()·f(b)<0，将→a，回到第一步.ab2ab2ab2ab2ab2ab2ab2ab2【思考】当|b-a|<2ε时，取区间(a，b)的中点作为零点的近似解，区间(a，b)上的其他点一定不是零点的近似解吗？为什么不取其他的点作为近似解？提示：设函数的零点是x0，区间(a，b)的其他点为x′，x′也可能是零点的近似解，即满足|x′-x0|<ε，但是也可能不满足，而区间的中点一定满足，因此只取区间的中点作为近似解，而不取其他的点.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y=2x-1的零点是()(2)若函数y=f(x)在区间(a，b)上f(a)·f(b)>0，则在区间(a，b)上一定没有零点.()(3)求任何函数的零点都可以用二分法.()1(,0).2提示：(1)×.函数y=2x-1的零点是.(2)×.如f(x)=x2在区间(-1，1)上有f(-1)f(1)=1×1=1>0，但是在区间(-1，1)上有零点0.(3)×.函数需满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0，才能用二分法求零点.122.下列图像表示的函数中没有零点的是()【解析】选A.B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点.3.下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()【解析】选A.只有A中图像没有穿越x轴.类型一函数零点所在区间的求法【典例】1.若a0，f(b)<0，f(c)>0，所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，故∃x1∈(a，b)，x2∈(b，c)，f(x1)=0，f(x2)=0，所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.2.选B.f(1)=2-1=1，即ff(1)<0，所以∃x0∈，f(x0)=0，且f(x)的图像在内是一条连续不断的曲线，故f(x)的零点所在的区间是.121f()222202，1()21(,1)21(,1)21(,1)2【内化·悟】求函数零点所在区间的关键是什么？提示：判断区间端点处函数值与0的大小关系.【类题·通】判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.【习练·破】对于方程x3+x2-2x-1=0，有下列判断：①在(-2，-1)内有实数根；②在(-1，0)内有实数根；③在(1，2)内有实数根；④在(-∞，+∞)内没有实...
