高考数学一轮单元复习 第39讲 空间向量及运算课件VIP免费

1．空间向量(1)定义与平面向量一样，在空间，把具有大小和方向的量叫做，向量的大小叫做向量的．空间向量也可用有向线段表示．有向线段的长度表示向量的．向量a的模记作|a|，向量的模记作.知识梳理空间向量长度或模模(2)几种特殊向量长度为0的向量叫做，记作0，当有向线段的起点A与终点B重合时，＝0.长度为1的向量称为．与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记作－a.方向相同且模相等的向量称为．零向量单位向量相等向量2．空间向量的运算(1)空间向量的加减运算空间向量的加减和平面向量的加减完全一样，遵偱平行四边形法则和三角形法则，并且空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λ(μa)＝(λμ)a.数乘3．空间向量的数量积运算(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．如果〈a，b〉＝π2，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.零向量与任何向量的数量积为0.a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.(2)空间向量的数量积满足的运算律：(λa)·b①＝λ(a·b)；a·b②＝b·a(交换律)；a·(b③＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．4．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序数组x，y，z，使得p＝xa＋yb＋zc.把{a，b，c}叫做空间的一个，a，b，c叫做．基底基向量(2)空间向量的正交分解如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个有序实数组{x，y，z}，使得p＝xi＋yj＋zk.我们称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的．分向量(3)空间向量的坐标设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，对于空间任一向量p，存在有序数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)．(4)空间向量运算的坐标表示①设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.②重要结论aba∥＝λba1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λR)∈；aba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝a·a＝a21＋a2＋a23；cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a2＋a23b21＋b2＋b23.③空间两点间的距离已知点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则A，B两点间的距离AB→＝a2－a12＋b2－b12＋c2－c12.探究点1空间向量的线性运算要点探究例1已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量OA→，OB→，OC→表示向量OG→.【思路】在封闭图形中，利用向量的加减法法则，逐步用基向量代换【点评】空间向量的线性运算和平面向量的线性运算相似，主要是根据三角形法则和平行四边形法则用基向量表示其他向量，为进一步应用作准备．注意图形中的特殊点，如中点、等分点、三角形的重心等的应用．利用同一基底表示同一向量的唯一性，也可以求一些参数，如下变式题：探究点2空间向量的坐标运算例2已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，求满足下列条件的点D的坐标．(1)DBAC∥，DCAB∥；(2)DBAC⊥，DCAB⊥，且AD＝BC.【思路】设出D点坐标，根据条件列方程求解．【点评】向量的坐标运算就是对应坐标的运算．利用平行、垂直、共线等条件可得向量间的关系，而每一个向量都有三个坐标，同一个向量的对应坐标相等，由此可得方程(组)，利用待定系数法可以求点的坐标．变式题(1)求与...