第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念及其基本运算基础知识自主学习要点梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、.(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、、.确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法图示法区间法(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为、、.有限集无限集空集2．集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则(或)．∅；AA；A⊆B，B⊆C⇒AC.若A含有n个元素，则A的子集有个，A的非空子集有个，A的非空真子集有个．(2)集合相等若A⊆B且B⊆A，则.ABBA⊆⊆⊆2n2n-12n-2A＝B3．集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；交集：A∩B＝；补集：∁UA＝．U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集．(2)集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}[难点正本疑点清源]1．正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．3．正确区分∅，{0}，{∅}∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.基础自测1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁UB)＝________.解析∁UB＝{2,4,6}，A∩(∁UB)＝{2,4}．{2,4}2．(2010·江苏)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．解析因为A∩B＝{3}，当a2＋4＝3时，a2＝－1无意义．当a＋2＝3，即a＝1时，B＝{3,5}，此时A∩B＝{3}．故a＝1.13．已知集合A＝{－1，0,4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是()A．{4}B．{4，－1}C．{4,5}D．{－1,0}解析由题可知集合B＝{0,1,2,3}，阴影部分表示由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合，则阴影部分表示的集合为{－1,4}．故选B.点评从图形中读懂集合间的关系是解决本题的关键．B4．已知M＝x|2x<1，N＝{y|y＝x－1}，则N∩(∁RM)等于()A．(1,2)B．[0,2]C．∅D．[1,2]解析因为M＝x|2x<1＝{x|x>2或x<0}，所以∁RM＝[0,2]，又N＝{y|y＝x－1}＝[0，＋∞)，故N∩(∁RM)＝[0,2]．易误警示求解集合M、N时易错．B题型分类深度剖析题型一集合的基本概念例1定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．思维启迪集合A⊙B的元素：z＝xy(x＋y)．求出z的所有值，再求其和．解析这里给出了一个新的符号A⊙B，实质上它就是一个集合，其中的元素z＝xy(x＋y)，其中x∈A＝{0,1}，y∈B＝{2,3}．可利用集合描述法中元素z的性质，简单的分类讨论，求出z的所有可能的取值即可求得答案．当x＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝6；当x＝1，y＝3时，z＝12.故集合A⊙B中的元素有如下3个：0,6,12.所有元素之和为18.答案18探究提高理解集合和集合元素的特征属性，是解决本题的关键．在确定z的值时，要根据x，y的不同取值分类讨论，体现了分类讨论的思想方法．变式训练1设a，b∈R，集合a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则a2011＋b2012的值为________．解析由于a≠0，则ba＝0，∴b＝0.∴a2＝1，又a≠1，∴a＝－1.故a2011＋b2012＝－1.－1题型二集合与集合的基本关系例2已知集合A＝...
