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高中数学 第二章 数列 23 等差数列的前n项和(一)课件 新人教B版必修5 课件VIP免费

高中数学 第二章 数列 23 等差数列的前n项和(一)课件 新人教B版必修5 课件_第1页
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2.3等差数列的前n项和(一)1.设梯形的上底,下底,高分别为a,b,h,把两个相同的梯形一个倒置并成平行四边形,则梯形的面积为________.a+bh2[知识链接]2.把二次函数y=-2x2+4x+3化成y=a(x+h)2+k的形式是_________________,当x=_____时,y有最大值____.解析y=-2x2+4x+3=-2(x2-2x)+3=-2(x-1)2+5.∴x=1时,y有最大值5.y=-2(x-1)2+5151.数列前n项和的概念把a1+a2+…+an叫数列{an}的前n项和,记做.a1+a2+a3+…+an-1=(n≥2).2.等差数列前n项和公式(1)若{an}是等差数列,则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn=;(2)若首项为a1,公差为d,则Sn可以表示为Sn=.na1+an2Sn-1[预习导引]na1+12n(n-1)dSn3.等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为.(2)Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,公差为.(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则m2dSnnd2anbn=S2n-1T2n-1.例1在等差数列{an}中.(1)a1=,an=,Sn=-5,求n和d.探究一与等差数列Sn有关的基本量的计算56-32解由题意,得Sn=na1+an2=n56-322=-5,解得n=15.又a15=56+(15-1)d=-32,∴d=-16.(2)a1=4,S8=172,求a8和d.解由已知,得S8=8a1+a82=84+a82=172,解得a8=39,又 a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.(3)已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.解由an=a1+n-1d,Sn=na1+nn-12d,得a1+2n-1=11,na1+nn-12×2=35,解方程组得n=5,a1=3或n=7,a1=-1.规律方法a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中可知三求二,一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,在求解过程中要注意整体思想的运用.变式训练1在等差数列{an}中;(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10;解S5=5a1+5×42d=5,a6=a1+5d=10,解得a1=-5,d=3.∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S10=10a1+10×92d=10×(-5)+5×9×3=85.(2)已知a3+a15=40,求S17.解S17=17×a1+a172=17×a3+a152=17×402=340.例2已知数列的前n项和公式为(1)这个数量是等差数列吗?求出它的通项公式;(2)求使得最小的序号n的值。探究二等差数列前n项和的最值问题解:将n-1代人数列的前n项和公式,得因此当n=1时也适合上式,所以这个数列的通项公式为na2230nSnnnS212(1)30(1)nSnn1432(2)nnnaSSnn432nan例2已知数列的前n项和公式为(1)这个数量是等差数列吗?求出它的通项公式;(2)求使得最小的序号n的值。探究二等差数列前n项和的最值问题解:又因为所以是等差数列。(2)因为且所以当或8时,最小,最小值是-112。na2230nSnnnS22152252302()22nSnnn1(432)[4(1)32]4(2)nnaannnna*nN7nnS例3某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?探究三等差数列前n项和公式在实际中的应用解设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20,则a1=50+1000×1%=60(元),a2=50+(1000-50)×1%=59.5(元),…a10=50+(1000-9×50)×1%=55.5(元),即第10个月应付款55.5元.由于{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,所以有S20=×20=1105(元),即全部付清后实际付款1105+150=1255(元).60+60-19×0.52规律方法建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.例4等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m.解:法一在等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.∴30,70,S3m-100成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m...

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