高中数学 第二章 数列 23 等差数列的前n项和(一)课件 新人教B版必修5 课件VIP专享VIP免费

2．3等差数列的前n项和(一)1.设梯形的上底，下底，高分别为a，b，h，把两个相同的梯形一个倒置并成平行四边形，则梯形的面积为________.a＋bh2[知识链接]2.把二次函数y＝－2x2＋4x＋3化成y＝a(x＋h)2＋k的形式是_________________，当x＝_____时，y有最大值____.解析y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x)＋3＝－2(x－1)2＋5.∴x＝1时，y有最大值5.y＝－2(x－1)2＋5151.数列前n项和的概念把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做.a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝(n≥2).2.等差数列前n项和公式(1)若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝；(2)若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝.na1＋an2Sn－1[预习导引]na1＋12n(n－1)dSn3.等差数列前n项和的性质(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为.(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则m2dSnnd2anbn＝S2n－1T2n－1.例1在等差数列{an}中.(1)a1＝，an＝，Sn＝－5，求n和d.探究一与等差数列Sn有关的基本量的计算56－32解由题意，得Sn＝na1＋an2＝n56－322＝－5，解得n＝15.又a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.解由已知，得S8＝8a1＋a82＝84＋a82＝172，解得a8＝39，又 a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.解由an＝a1＋n－1d，Sn＝na1＋nn－12d，得a1＋2n－1＝11，na1＋nn－12×2＝35，解方程组得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.规律方法a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.变式训练1在等差数列{an}中；(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；解S5＝5a1＋5×42d＝5，a6＝a1＋5d＝10，解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S10＝10a1＋10×92d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)已知a3＋a15＝40，求S17.解S17＝17×a1＋a172＝17×a3＋a152＝17×402＝340.例2已知数列的前n项和公式为（1）这个数量是等差数列吗？求出它的通项公式；（2）求使得最小的序号n的值。探究二等差数列前n项和的最值问题解：将n-1代人数列的前n项和公式，得因此当n=1时也适合上式，所以这个数列的通项公式为na2230nSnnnS212(1)30(1)nSnn1432(2)nnnaSSnn432nan例2已知数列的前n项和公式为（1）这个数量是等差数列吗？求出它的通项公式；（2）求使得最小的序号n的值。探究二等差数列前n项和的最值问题解：又因为所以是等差数列。（2）因为且所以当或8时，最小，最小值是-112。na2230nSnnnS22152252302()22nSnnn1(432)[4(1)32]4(2)nnaannnna*nN7nnS例3某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？探究三等差数列前n项和公式在实际中的应用解设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，…a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元.由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S20＝×20＝1105(元)，即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元).60＋60－19×0.52规律方法建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.例4等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.解：法一在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列.∴30,70，S3m－100成等差数列.∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m...