高中数学 空间向量法解决立体几何问题课件 新人教版 课件VIP免费

空间向量法解决立体几何问题空间向量法解决立体几何问题数学专题二专题提纲专题提纲二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。1、直线的方向向量；2、平面的法向量。一、引入两个重要空间向量一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是212121(,,)ABxxyyzz�zxyAB2.平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作nα⊥,这时向量n叫做平面α的法向量.αn在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图2,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na⊥且nb⊥,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.abnα求平面的法向量的坐标的步骤第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.11122200xxyyzzxxyyzz例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AABCDOA1B1C1D1zxy解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2）由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得，解得取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).1OA�1OD�2020xyzxyz20xzyAA1B1C1D1ABOCDxzy练习的一个单位法向量求平面已知点ABCCBA),1,0,0(),0,1,0(),0,0,1()31,31,31(n答案：二.立体几何问题的类型及解法1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.①若a∥b,即a=λb,则ab.∥②若ab⊥,即a·b=0,则ab⊥abab三、简单应用练习1：设直线l，m的方向向量分别为，，根据下列条件判断l，m的位置关系：ab)2,3,2(),2,2,1()2(ba)6,3,6(),2,1,2()1(ba)3,0,0(),1,0,0()3(ba例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C∠1CB=C∠1CD=BCD=θ,∠求证:CC1⊥BDA1B1C1D1CBAD证明：设a,b,c,依题意有|a|=|b|，于是a–b =c(a–b)=c·a–c·b=|c|·|a|cosθ–|c|·|b|cosθ=0∴CC1⊥BDCDCB1CCBDCBCD1CCBD'''''',''ABCABCAAABCACABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：A'B'CBC'A.2/1,0,0,,',1cbcabaACcABbAAa设证明：设底面边长为bacCCACBABCabBBABABacACAACA''''''向量法'''''',''ABCABCAAABCACABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：A'B'CBC'A220''()()12ACABcabacbcaabaacb�)()(''abbacABBC2222(2)()(2)()22110caabbaabbaaabbab).,1,0('),,1,0('),,0,3(').0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(.,,2hChBhACBAh系如图建立空间直角坐标高为设底面边长为A'B'CBC'A'(3,1,),'(3,1,),'(0,2,)ABhAChBCh�2220''31,2.''020.''ABAChhABBChBCAB��'''''',''ABCABCAAABCACABBCAB练习：在三棱柱中，底面是正三角形，底面，求证：坐标法(2)直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα.①若a∥n,即a=λn,则Lα⊥②若an⊥,即a·n=0,则aα.∥naααnaLL例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).设平面D...