•重点难点•重点：①平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示．•②了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题．•难点：平面向量数量积的应用及向量与其它知识的综合问题．知识归纳一、平面向量的数量积1．向量数量积的定义(1)向量a与b的夹角已知两个非零向量a、b，过O点作OA→＝a，OB→＝b，则θ＝∠AOB(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．当θ＝π2时，a与b垂直，记作a⊥b；当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．•(2)已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.|a||b|cosθ(3)已知平面向量a和轴l，过轴l上点O，作OA→＝a，由A向l作垂线，垂足为A1，则OA1→称作a在轴l上的射影．该射影在轴l上的坐标称作a在轴l(方向)上的数量，记作al.•∴al＝|a|·cosθ(其中θ为a与轴l的正向所成的角)当θ为钝角时，al<0；当θ为直角时，al＝0；当θ为锐角时，al>0，当θ＝0°时，al＝|a|.当θ＝180°时，al＝－|a|.•(4)平面向量数量积的几何意义•数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积．•2．向量数量积的性质•设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹角，则•(1)e·a＝a·e＝|a|·cos〈a，e〉．•(2)a⊥b⇔a·b＝.•(3)当a与b同向时，a·b＝；•当a与b反向时，a·b＝；0|a||b|－|a||b|特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)cosθ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a|·|b|.•3．向量数量积的运算律•(1)交换律：a·b＝b·a.•(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.•(3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．•4．平面向量数量积的坐标表示•(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则•a·b＝x1x2＋y1y2.故ab⊥⇔x1x2＋y1y2＝0.•(2)设a＝(x，y)，则|a|＝.(3)若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|a|＝x1－x22＋y1－y22.(4)若向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)的夹角为θ，则有：cosθ＝a·b|a|·|b|＝x1x2＋y1y2x12＋y12·x22＋y22.二、平面向量的应用用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算性质、法则，推出所要求证的结论．要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件．1．用向量法求角设向量a与b的夹角为α，则cosα＝a·b|a|·|b|.若a＝(x1，y1)、b＝(x2，y2)，则cosα＝x1x2＋y1y2x12＋y12×x22＋y22；2．用向量法处理垂直要证两线段AB⊥CD，只需证AB→·CD→＝0.3．用向量法处理平行要证两线段AB∥CD，只需证存在实数λ≠0，使等式AB→＝λCD→成立．4．用向量法处理距离要证线段AB＝CD，可转化为证明AB→2＝CD→2或|AB→|＝|CD→|.•5．用向量法处理物理问题，首先要把物理问题用向量模型加以表达，然后通过求解向量模型解释相关物理现象．•6．平面向量与三角函数整合的题目，大多数本质仍是“”“三角函数问题，只是同时兼顾平面向量的共线、数”量积等基本概念与基本运算，解题时依据向量的有关概念与运算去掉向量外衣后，就是纯粹三角问题了．•7．平面向量与解析几何整合的题目，注意将题目中的“”条件和要解决的问题，通过点加以向量化，然后运用向量的运算来解决．•误区警示•1．若a·b＝0，a≠0不一定有b＝0，因为当a⊥b时，总有a·b＝0.•2．对于实数a、b、c，当b≠0时，若ab＝bc，则a＝c.但对于向量a，b，c，当b≠0时，由a·b＝b·c却推不出a＝c.因为由a·b＝b·c得b·(a－c)＝0，只要a－c与b垂直即可．3．数量积不满足结合律，即对于向量a、b、c，(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立，这是因为a·b与b·c都是实数．(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，而c与a却未必共线．•4．若
＝θ，则a在b方向上的投影为|a|·cosθ，b在a方向上的投影为|b|·cosθ，应注意区分．力OF→在OS→方向上的分力OF→′＝|OF→|cosθ·OS→|OS→|，是与OS→共线的向量，不要和投影|OF→|cosθ相混淆．•5．a·b>0和a与b夹角为锐角不等价． 当b＝a≠0时，夹角为0，a·b>0；同样a·b<0不等价于a与b的夹角为钝角．•6．用向量法...
