•第二节双曲线考纲点击掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线的简单几何性质.热点提示1.以选择题、填空题的形式考查双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质，其中渐近线是高考的重点内容.2.以解答题的形式考查直线与双曲线的综合问题.•1．双曲线的定义•(1)平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：•①与两个定点F1，F2的距离的____________等于常数2a.•②2a___|F1F2|.•(2)上述双曲线的焦点是__________，焦距是_________.差的绝对值＜F1，F2|F1F2|当2a＝|F1F1|和2a＞|F1F2|时，动点的轨迹是什么图形？若2a＝0，动点的轨迹又是什么？【提示】当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；,当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在；,当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？【提示】离心率越大，双曲线的“开口”越大.1．双曲线方程：x2|k|－2＋y25－k＝1，那么k的范围是()A．k＞5B．2＜k＜5C．－2＜k＜2D．－2＜k＜2或k＞5•【解析】由题意知(|k|－2)(5－k)＜0，解得－2＜k＜2或k＞5.•【答案】D2．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P、Q两点，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是()A．28B．14－82C．14＋82D．82【解析】由双曲线方程知a＝22，则△PF2Q的周长为：|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝(2a＋|PF1|)＋(2a＋|QF1|)＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4×22＋2×7＝14＋82.【答案】C3．已知双曲线的方程为2x2－3y2＝6，则此双曲线的离心率为()A.32B.52C.153D.253【解析】依题意可知：由2x2－3y2＝6⇒x23－y22＝1，⇒a2＝3，b2＝2⇒c2＝a2＋b2＝5⇒e＝ca＝53＝153.【答案】C•4．已知点(m，n)在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是________．【解析】双曲线方程变为x23－y28＝1，∴x23≥1，∴x≤－3或x≥3，∴m≤－3或m≥3，∴2m＋4≤4－23或2m＋4≥4＋23.【答案】(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)5．与椭圆x249＋y224＝1有公共焦点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率之比为74的双曲线的标准方程是________．【解析】对椭圆x249＋y224＝1，a＝7，b＝26，∴c＝5，e＝57，设双曲线方程为x2m2－y2n2＝1(m＞0，n＞0)，∴m2＋n2＝2557÷5m＝47，解得m＝4，n＝3，∴双曲线标准方程为x216－y29＝1.【答案】x216－y29＝1•已知动圆M与圆C：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切．求动圆圆心M的轨迹方程．双曲线的定义与标准方程•【思路点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．【自主解答】设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝22.又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴22＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支． a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．•1.在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支．•2．求双曲线标准方程的方法•(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程、•(2)待定系数法，其步骤是•①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上．•②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程．•③定值：根据题目条件确定相关的系数．•若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2－ny2＝1(mn＜0)．•[教师选讲]动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2及圆C2：(x－4)2＋y2＝2一个内切、一个外切，那么动圆圆心M的轨迹方程如何？【解析】由例题可知：当圆M与圆C1外切，与圆C2内切时，|MC1|－|MC2|＝22；当圆M与圆C1内切，与圆C2外切时，|MC2|－|MC1|＝22.∴||MC1|－|MC2||＝22＜|C1C2|＝8.∴点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线．∴a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为x22－y214＝1.双曲线的几何性质中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠...
