1/53.2一元二次不等式及其解法【知识要点】1.一元二次不等式的解法（1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.a.一元二次不等式的一般表达式是22++c>0(a0)ax++<0(0)axbxbxca或，其中a，b，c均为常数，判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义判断.b.设一元二次方程2++c>0(a>0)axbx的两个不等实根分别为1212x,(<)xxx，则不等式2++c>0(a>0)axbx的解集为21|>0)bxca的解集为12|<0axbx的不等式要注意：（1）要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行讨论（2）转化为标准形式的一元二次不等式（即二次项系数大于0）后，再以判别式与0的大小作为分类标准进行讨论.（3）如果判别式大于0，但两实根的大小还不能确定，此时再以两实根的大小作为分类标准进行讨论.4.分式不等式的解法若()()fxgx与是关于x的多项式，不等式()0(0)[()0]()fxgxgx或为分式不等式.5.一元高次不等式的解法不等式最高项的次数高于2次，这样的不等式称为高次不等式.6.不等式恒成立问题（1）不等式2++c>0axbx的解集是全体实数（或恒成立）的条件是a=0,b=0,c>0当时当a0,a<0,<0时（2）不等式2ax++<0bxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是当a=0,b=0,c<0时；当a0,a<0,<0时（3）若xD，函数f(x)A在D上恒成立，则等价于f(x)在D上的最小值minf(x)A恒成立；若()fxB在D上恒成立，则等价于f（x）在D上的最大值max()fxB恒成立.7.一元二次不等式的应用题2/5解一元二次不等式的应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系，来列不等式.【知识应用】1.解一元二次不等式的一般步骤是：（1）对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0（2）计算相应的判别式（3）当>0时，求出相应的一元二次方程的两实根（4）根据一元二次不等式解的结构，写出其解集【J】例1解下列不等式：（1）22-+2->03xx（2）42+3-10<0xx【L】例2解不等式：（1）2-2-3>0xx（2）2-2++1<0xx【C】例3（1）解不等式：22-+2->03xx（2）函数2=--6yxx的判别式________0，该图像与x轴有_______个交点，其交点横坐标为________，不等式2--6>0xx解集是___________，不等式2--6<0xx的解集是______.2.在解不等式逆运算时，只需表示将解集的数带入原不等式即可.【J】例1已知不等式2++2>0axbx的解集为211|-<<++<023xxbxa，求2x的解集【L】例2不等式2+5+>0axxc的解集为11|<<32xx，求a，c【C】例3已知不等式2-+2<0axbx的解集为|1<<2xx，求a、b的值3.含参数的不等式的解题步骤为：（1）将二次项系数转化为正数（2）判断相应方程是否为实根（如果可以直接分解因式，可省去此步）（3）根据根的情况写出相应的解集（若方程有相异实根，还要分析实根的大小）当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不得是否为二次不等式含参数的一元二次不等式的讨论次序为：（1）二次项系数（2）判别式（3）若有实根，两实根的大小顺序【J】例1解关于x的不等式：223-(+)+>0xaaa【L】例2已知不等式-1>0()+1axaRx（1）解这个关于x的不等式（2）若x=-a时不等式成立，求a的取值范围.【C】例3解关于x的不等式：22x--2<0()axaaR3/54.解分式不等式的步骤：（1）移项同分，将()>()fxagx型化为()>0()fxgx型（2）将()>0()fxgx型化为()()>0fxgx型【J】例1求不等式2-1>1+3xx的解集【L】例2解关于x的不等式：2-<0()-xaaRxa【C】例3已知不等式222+3+<15-8+4xkxkxx对一切实数x都成立，求k的取值范围5.解一元高次不等式最常用方法为根轴法：（1）将不等式化为标准形式：一端为0，另一端为一次因式（因式中x的系数为正数）或二次不可约因式的积（2）求出各因式的实数根，并在数轴上依次标出（3）自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过（积过偶不过）（4）记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写...
