10.3复数的三角形式及其运算第十章复数学习目标1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示.2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.3.了解辐角、辐角主值等概念.4.了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义.重点：复数的三角表示.难点：复数乘除运算的三角表示及其几何意义.知识梳理一、复数的三角形式【尝试与发现】设复数z＝1+i在复平面内对应的点为Z，（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量；（2）记r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1+i的实部、虚部之间的关系.𝑍（1，√3）𝑟=2𝜃=π31=𝑟cos𝜃,√3=𝑟sin𝜃复数的三角形式的定义：一般地，如果非零复数z＝a+bi（a，b∈）在复平面内对应点Z（a，b），且r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝，根据任意角余弦、正弦的定义可知cosθ＝，sinθ＝.因此a＝rcosθ，b＝rsinθ，如图所示，从而z＝a+bi＝（rcosθ）+（rsinθ）i＝r（cosθ+isinθ），上式的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式（对应地，a+bi称为复数的代数形式），其中的θ称为z的辐角.显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地，在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作argz.【名师点拨】为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.例如，对于复数z＝1+i来说，因为|z|＝221(3)＝2，cosθ＝12，sinθ＝32，所以可取θ＝argz＝3，从而z＝1+i的三角形式为z＝2cosisin33.这也可以通过如下方式得到.z＝1+i＝222222131(3)i1(3)1(3)＝13222i＝2cosisin33.因为0＝0（cosθ+isinθ），其中θ可以为任意值，所以我们也称上式为复数0的三角形式.这样一来，任意复数都可以写成三角形式了.【特别提示】（1）复数的三角形式与代数形式一样，也是表示复数的一种方法，它们可以相互转化.（2）复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一.（3）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值.二、复数三角形式的乘除法1.复数三角形式的乘法法则【尝试与发现】设z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），试求出z1z2.提示：z1z2＝r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2［（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2）］＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.由此，我们可得到复数三角形式的乘法法则：r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.z1的模乘以z2的模等于z1z2的模（简记：模相乘）z1的辐角与z2的辐角之和是z1z2的辐角（简记：辐角相加）例如，266cosisin×22cosisin＝26262cosisin＝222cosisin33.2.复数三角形式乘法的几何意义设z1，z2对应的向量分别为，，将绕原点旋转θ2，再将的模变为原来的r2倍，如果所得向量为，则对应的复数即为z1z2，如图所示.当θ2>0时，按逆时针方向旋转角θ2，当θ2<0时，按顺时针方向旋转角.又因为+i＝i，所以一个复数与i相乘，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转，如图所示.上述两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘.特别地，如果n∈，则［r（cosθ+isinθ）］n＝rn［cos（nθ）+isin（nθ）］.3.复数三角形式的除法法则【尝试与发现】如果非零复数z的三角形式为z＝r（cosθ+isinθ），利用两个共轭复数在复平面内对应的点关于x轴对称，写出的三角形式，并求出z的值.提示：一般地，如果非零复数z＝r（cosθ+isinθ），那么-θ是的一个辐角，因此＝r［cos（-θ）+isin（-θ）］，而且z＝r（cosθ+isinθ）×r［cos（-θ）+isin（-θ）］＝r2［cos（θ-θ）+isin（θ-θ）...
