第7讲导数高考要点回扣1．导数的概念及运算(1)定义f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.(2)几何意义曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率为k＝f′(x0)(其中f′(x0)为y＝f(x)在x0处的导数)．(3)求导数的方法①基本导数公式：c′＝0(c为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlna(a>0且a≠1)．②导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；uv′＝u′v－uv′v2(v≠0)．③复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.2．导数的应用(1)求曲线的切线方程利用导数求曲线的切线方程：由于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数表示曲线在点P(x0，y0)处的斜率，因此曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．注意：如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.(2)求函数的单调区间利用求导方法讨论函数的单调性要注意以下几方面：①f′(x)>0是f(x)递增的充分不必要条件(f′(x)<0亦是如此)；②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据f′(x)>0(或f′(x)<0)解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明．(3)求可导函数的极值与最值①求可导函数极值的步骤求导数f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→检验f′(x)在方程根左右值的符号，求出极值(若左正右负，则f(x)在这个根处取极大值；若左负右正，则f(x)在这个根处取极小值)．②求可导函数在[a，b]上的最值的步骤求f(x)在(a，b)内的极值→求f(a)、f(b)的值→比较f(a)、f(b)的值和极值的大小．特别提醒若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有f′(x)≥0恒成立(但不恒等于0)；若在某区间上单调递减，则在该区间上有f′(x)≤0恒成立(但不恒等于0)．精品回扣练习1．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析由f(x)＝x3－3x2＋1得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．22．(2011·大纲全国改编)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．解析 y′＝(－2x)′e－2x＝－2e－2x，k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2.如图， y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标为(23，23)，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)，∴S＝12×1×23＝13.133．已知函数y＝ax3－15x2＋36x－24在x＝3处有极值，则函数的递减区间为______．解析y′＝3ax2－30x＋36.因为函数在x＝3处有极值，所以y′|x＝3＝27a－90＋36＝0，得a＝2.所以y＝2x3－15x2＋36x－24，y′＝6x2－30x＋36，令y′<0，即x2－5x＋6<0，解得20⇒x<23或x>2，f′(x)<0⇒23
