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第三章习题解答3.1参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位因子2220202002exp)(2expMyxdkjyxdkjii试问（1）物平面上半径多大时，相位因子)(2exp20200yxdkj相对于它在原点之值正好改变π弧度？（2）设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少？（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a，λ和do之间存在什么关系时可以弃去相位因子)(2exp20200yxdkj解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为的条件是22200000()22krkxydd，00rd（2）根据（3.1.5）式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点00(,)xy2200002012(,;,)(,)exp[()()]iiiiiihxyxyPxyjxxyydxdyddd12200(2)11iiaJarcircddaddB式中22rxy，而222200()()iiiixxyydd（1）在点扩散函数的第一个零点处，1(2)0Ja，此时应有23.83a，即00.61a（2）将（2）式代入（1）式，并注意观察点在原点(0)iixy，于是得000.61dra（3）（3）根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献00(,;0,0)hxy。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近000.61/rda范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子200exp[/2]jkrd变化不大，就可认为（3.1.3）式的近似成立，而将它弃去，假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度（例如/16）就满足以上要求，则200/216krd，200/16rd，也即02.44ad（4）例如600nm，0600dnm，则光瞳半径1.46amm，显然这一条件是极易满足的。3.2一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为00002cos2121),(xfyxt放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x0z平面内，与z轴夹角为θ。透镜焦距为f，孔径为D。（1）求物体透射光场的频谱；（2）使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；(3)若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ=0时的截止频率比较，结论如何？解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为0exp(sin)Ajkx，为确定起见设0，则物平面上的透射光场为000000(,)exp(sin)(,)UxyAjkxtxy00000sin1sin1sinexp2exp2()exp2()222Ajxjxfjxf其频谱为000(,)(,)AUxyF00sin1sin1sin222Aff由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿轴整体平移了sin/距离。（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率/4cDf，于是要求sin4Df，0sin44DDfff由此得0sin44DDfff（1）角的最大值为maxarcsin4Df（2）此时像面上的复振幅分布和强度分布为01(,)exp2[1exp(2)]242iiiiiADUxyjxjxff205(,)cos244iiiAIxyfx（3）照明光束的倾角取最大值时，由（1）式和（2）式可得044DDfff即02Dff或0max2Dff（3）0时，系统的截止频率为/4cDf，因此光栅的最大频率0max4cDff（4）比较（3）和（4）式可知，当采用max倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。3.3光学传递函数在fx=fy=0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？（1）在（3.4.5）式中，令11(,)(,)(,)iiiiiiiihxyhxyhxydxdy为归一化强度点扩散函数，因此（3.4.5）式可写成(,)(,)exp[2()]iiiiiihxyjxydxdyH而(0,0)1(,)iiiihxydxdyH即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，这便是归一化点扩散函数的意义（2）不能大于1（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率的传递都是无损的。3.4当非相干成像系统的点扩散函数hI（xi，yi）成点对称时，则其光学传递函数是实函数。解：由于(,)Iiihxy是实函数并且是中心对称的，即有*(,)(,)IiiIiihxyhxy，(,)(,)IiiIiihxyhxy，应用光学传递函数的定义式（3.4.5）易于证明(,)(,)*HH，即(,)H为实函数。3.5非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a，出瞳到像面的距...