知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练第12讲正弦定理、余弦定理及解三角形知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a𝑠𝑖𝑛A=b𝑠𝑖𝑛B=c𝑠𝑖𝑛C=2R(其中R是△ABC外接圆的半径)a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC变形形式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=a2R;sinB=b2R;sinC=c2R;a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;a+b+c𝑠𝑖𝑛A+𝑠𝑖𝑛B+𝑠𝑖𝑛C=2RcosA=b2+c2-a22bc;cosB=a2+c2-b22ac;cosC=a2+b2-c22ab知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理2.三角形中常用的面积公式(1)S=12ah(h表示边a上的高);(2)S=12bcsinA=12acsinB=12absinC;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理3.三角形的判别(1)应用余弦定理判断三角形形状的方法在△ABC中,c是最大的边,若c2
a2+b2,则△ABC是钝角三角形.(2)判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角,则(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用三角形三个内角的和等于180°这个结论.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式题型一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)在△ABC中,a,b,c分别是内角A、B、C的对边.若bsinA=3csinB,a=3,cosB=23,则b=()A.14B.6C.ξ14D.ξ6(2)(2019·青岛模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A等于()A.3π4B.π3C.π4D.π6知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【解析】(1)bsinA=3csinB⇒ab=3bc⇒a=3c⇒c=1,所以b2=a2+c2-2accosB=9+1-2×3×1×23=6,b=ξ6,故选D.(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2cosA.又a2=2b2(1-sinA),所以sinA=cosA,即tanA=1,又A是三角形内角,则A=π4,故选C.【答案】(1)D(2)C知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【规律方法】应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边:利用公式a=𝑏sin𝐴sin𝐵,b=𝑎sin𝐵sin𝐴,c=𝑎sin𝐶sin𝐴或其他相应变形公式求解.(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA=𝑎sin𝐵𝑏,sinB=𝑏sin𝐴𝑎,sinC=𝑐sin𝐴𝑎或其他相应变形公式求解.(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式变式训练一1.(2019·郑州模拟)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sinB+sinC)=(a-ξ3c)sinA,则角B的大小为()A.30°B.45°C.60°D.120°A【解析】由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶及(b-c)·(sinB+sinC)=(a-ξ3c)sinA得(b-c)(b+c)=(a-ξ3c)a,即b2-c2=a2-ξ3ac,∴a2+c2-b2=ξ3ac.又 cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐,∴cosB=ξ32,∴B=30°.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsinB-asinA=12asinC,则sinB=.ξ74【解析】因为bsinB-asinA=12asinC,所以b2-a2=12ac.又因为c=2a,所以b2-a2=a2,所以b=ξ2a.因为cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=𝑎2+4𝑎2-2𝑎24𝑎2=34,所以sinB=ට1-(34)2=ξ74.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=ξ3,sinB=12,C=π6,则b=.1【解析】因为sinB=12且B∈(0,π),所以B=π6或B=5π6.又C=π6,B+C<π,所以B=π6,A=π-B-C=2π3.又a=ξ3,由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,即ξ3sin2π3=𝑏12,解得b=1.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式题型二与三角形面积有关的问题【例2】(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2𝐵2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练典例变式【解】(1)由题意及A+B+C=π得sinB=8sin2𝐵2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0...
