必考部分第三章三角函数、解三角形第八节解三角形应用举例考纲点击能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.明考向理基础悟题型课时作业研知识梳理1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线的角叫仰角,在水平线的角叫俯角(如图①).上方下方2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).3.方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α:指北方向顺时针旋转α到达目标方向.②东北方向:指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似.4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角).坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡比).1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β之间的关系是()A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°基础自测解析:根据仰角与俯角的含义,画图即可得知.答案:B2.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的()A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°解析:如图所示,∠ACB=90°,又AC=BC,∴∠CBA=45°,而β=30°,∴α=90°-45°-30°=15°.∴点A在点B的北偏西15°.答案:B3.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为()A.akmB.3akmC.2akmD.2akm解析:在△ABC中,AC=BC=a,∠ACB=120°,∴AB2=a2+a2-2a2cos120°=3a2,AB=3a.答案:B4.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A、C两点之间的距离为__________千米.解析:在△ABC中,∠CAB=75°,∠CBA=60°,∴∠ACB=180°-75°-60°=45°,又AB=2,由正弦定理,得ACsin60°=ABsin45°,故AC=6.答案:65.2012年10月21日超强风暴“鲇鱼”导致台湾“苏花高速”坍塌,在灾区的搜救现场(如图所示),一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象,然后向右转105°,行进10m到达O处发现另一生命迹象,这时它向右转135°后继续前进可回到出发点,那么x=__________.解析:依题意,在△AOB中,β=45°,A=60°,OB=10,由正弦定理,xsin45°=10sin60°,故x=1036.答案:1036要点点拨1.测量距离问题(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的模型.(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解.2.测量高度问题(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念.(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.(3)注意竖直直线垂直于地面构成的直角三角形.3.测量角度问题(1)测量角度时,要准确理解方位角、方向角的概念.(2)准确画出示意图是关键.[例1]如图所示,著名旅游景区张家界原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC.在山脚B处看索道AC,此时张角∠ABC=120°;从B处攀登200米到达D处,回头看索道AC,此时张角∠ADC=150°;从D处再攀登300米即到达C处.求这条索道AC的长度.热点题型一测量距离问题[思路点拨]在△ABD中,利用正弦定理求AD;在△ADC中,利用余弦定理求AC.[解]在△ABD中,BD=200米,∠ABD=120°,由∠ADB=30°,得∠DAB=30°,因为BDsin∠DAB=ADsin∠ABD,即200sin30°=ADsin120°,所以AD=200sin120°sin30°=2003(米).在△ADC中,DC=300米,∠ADC=150°,所以AC2=AD2+DC2-2×AD×DC×cos∠ADC=(2003)2+3002-2×2003×300×cos150°=390000.所以AC=10039米.所以这条索道AC的长为10039米.[规律总结]求解解三角形实际应用问题的技巧:首先,理解有关问题的题意和应用背景,画出示意图;其次,把所求问题归结到一个或几个三角形中,利用正弦定理、余弦定理等有关知识求解;最后,回归实际问题并检验结果.变式训练1如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船...