必考部分第三章三角函数、解三角形第八节解三角形应用举例考纲点击能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.明考向理基础悟题型课时作业研知识梳理1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角(如图①)．上方下方2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似．4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°基础自测解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．答案：B2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.答案：B3．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akm解析：在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝3a.答案：B4．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为__________千米．解析：在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，由正弦定理，得ACsin60°＝ABsin45°，故AC＝6.答案：65.2012年10月21日超强风暴“鲇鱼”导致台湾“苏花高速”坍塌，在灾区的搜救现场(如图所示)，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达O处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前进可回到出发点，那么x＝__________.解析：依题意，在△AOB中，β＝45°，A＝60°，OB＝10，由正弦定理，xsin45°＝10sin60°，故x＝1036.答案：1036要点点拨1．测量距离问题(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．2．测量高度问题(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念．(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．(3)注意竖直直线垂直于地面构成的直角三角形．3．测量角度问题(1)测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念．(2)准确画出示意图是关键．[例1]如图所示，著名旅游景区张家界原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.在山脚B处看索道AC，此时张角∠ABC＝120°；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时张角∠ADC＝150°；从D处再攀登300米即到达C处．求这条索道AC的长度．热点题型一测量距离问题[思路点拨]在△ABD中，利用正弦定理求AD；在△ADC中，利用余弦定理求AC.[解]在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°，由∠ADB＝30°，得∠DAB＝30°，因为BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，即200sin30°＝ADsin120°，所以AD＝200sin120°sin30°＝2003(米)．在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2×AD×DC×cos∠ADC＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos150°＝390000.所以AC＝10039米．所以这条索道AC的长为10039米．[规律总结]求解解三角形实际应用问题的技巧：首先，理解有关问题的题意和应用背景，画出示意图；其次，把所求问题归结到一个或几个三角形中，利用正弦定理、余弦定理等有关知识求解；最后，回归实际问题并检验结果．变式训练1如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船...
