第二节绝对值不等式与一元二次不等式知识自主·梳理最新考纲1.掌握简单的绝对值不等式的解法．2．掌握一元二次不等式的解法.高考热点1.以考查绝对值不等式或一元二次不等式的解法为主，兼顾考查集合的交、并、补运算或判断集合间的关系．2．给出函数表达式，以求函数定义域为载体考查绝对值不等式或一元二次不等式的解法.1.设a＞0，则|x|≤a⇔，|x|＞a⇔.2．|f(x)|＜g(x)⇔，|f(x)|＞g(x)⇔．3．设a＞0，若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则ax2＋bx＋c＞0的解集为，ax2＋bx＋c≤0的解集为；若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根x1，x2(x1＜x2)，则ax2＋bx＋c＞0的解集为，ax2＋bx＋c＜0的解集为．－a≤x≤ax＞a或x＜－a－g(x)＜f(x)＜g(x)f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x){x|x＞x2或x＜x1}{x|x1＜x＜x2}RØ设a＜0，若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则ax2＋bx＋c＞0的解集为；ax2＋bx＋c＜0的解集为；若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等式的实根x1，x2(x1＜x2)，则ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＞x2或x＜x1}．ØR(1)注重概念与典型例题的结合，数式与图形的结合；(2)重视不同类型绝对值不等式求解的通性通法，循序渐进，不要求一步到位(因在“不等式”一章中还要详细复习)；(3)注意函数、方程、不等式三者间的制约和依赖关系.方法规律·归纳例1解不等式(1)|4x－3|＞2x＋1.(2)|x－1|＋|x＋2|＜5.题型一绝对值不等式的解法思维提示①去掉绝对值②零点分段讨论[解](1)解法一：原不等式等价于4x－3≥04x－3＞2x＋1，或4x－3＜0－(4x－3)＞2x＋1，即x≥34x＞2或x＜34x＜13，∴x＞2或x＜13，∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜13}．解法二： |4x－3|＞2x＋1⇒4x－3＞2x＋1或4x－3＜－(2x＋1)⇒x＞2或x＜13，∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜13}．(2)解法一：分别求|x－1|，|x＋2|的零点，即1，－2.－2,1把数轴分成三部分：x＜－2，－2≤x≤1，x＞1当x＜－2时，原不等式即1－x－2－x＜5，解得－3＜x＜－2；当－2≤x≤1时，原不等式即1－x＋2＋x＜5，因为3＜5恒成立，则－2≤x≤1；当x＞1时，原不等式即x－1＋2＋x＜5，解得1＜x＜2.综上，原不等式的解集为{x|－3＜x＜2}．解法二：不等式|x－1|＋|x＋2|＜5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2,1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2，1以外的点到－2,1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样，原不等式的解集为{x|－3＜x＜2}．[规律总结](1)用整体换元转化法解|f(x)|＞g(x)型不等式时，可以把不等式的右边看成常数c，就同|f(x)|＞c一样进行分析求解，最后的解集与分类讨论得到的解集是相同的．(2)当绝对值符号至少有2个时，一般采用零点分段讨论的方法来解．备选例题1解不等式：(1)3＜|2x－3|＜5(2)|2x＋1|＋|x－2|＞4.解：(1)原不等式可转化为3＜2x－3＜5或－5＜2x－3＜－3.解得3＜x＜4或－1＜x＜0所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜0或3＜x＜4}．(2)分别令2x＋1＝0，x－2＝0，得“零点”为、2，∴原不等式可化为①x≤－12，－2x－1＋2－x＞4，或②－12＜x≤2，2x＋1＋2－x＞4，或③x＞2，2x＋1＋x－2＞4，解不等式组①得：x＜－1，解不等式组②得：1＜x≤2，解不等式组③得：x＞2.综上，得不等式的解集为{x|x＜－1或x＞1}.题型二一元二次不等式思维提示①一元二次不等式的解法②对字母参数分类讨论例2解下列关于x的不等式：(1)－x2＋2x－23＞0.(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0.(2)①当a＝0时，原不等式化为－x＋1＜0，∴不等式的解集为{x|x＞1}．②当a≠0时，原不等式可化为a(x－1)·x－1a＜0.当a＜0时，有(x－1)x－1a＞0， 1a＜1，∴原不等式的解集为xx＜1a或x＞1.当a＞0时，原不等式可化为(x－1)x－1a＜0.(Ⅰ)当1a＜1即a＞1时，不等式的解集为x1a＜x＜1.(Ⅱ)当...
