第五节直线、圆的位置关系一、直线与圆的位置关系（圆心到直线距离为d，圆的半径为r）相离相切相交图形量化方程观点Δ0Δ0Δ0几何观点drdrdr<＝＞＞＝＜在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示：应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条，若点在圆外，切线应有两条.二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞d＝d＝d＜r1＋r2r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2|r1－r2||r1－r2|1．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，bR)∈对称，则ab的取值范围是()A．(－∞，]B．(0，)C．(－，0)D．[－，＋∞)解析：配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心(－1,2)在直线上．∴a＋b＝1，答案：Aab≤2．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直线的方程为()A．y＝－3x或y＝B．y＝3x或y＝－C．y＝－3x或y＝－D．y＝3x或y＝解析：设方程为y＝kx，圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝，圆心为(2，－1)，∴⇒3k2＋8k－3＝0⇒k＝－3或答案：A3．已知0＜r＜＋1，则圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切B．内含C．相交D．相离解析：两圆连心线长|O1O2|＝，r1＋r2＝r＋，|r1－r2|＝|－r|，因为0＜r＜＋1，所以＜r＋＜2＋1，－＜r－＜1，所以|－r|＜|O1O2|＜r＋，所以两圆相交．答案：C4．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是______．解析：两圆方程相减得x－2y＋4＝0.答案：x－2y＋4＝05．两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是__________．解析：两圆为(x－3)2＋(y＋3)2＝66和(x＋2)2＋(y－4)2＝64，两圆圆心距离∴两圆相交，故有2条公切线．答案：2直线与圆的位置关系有相离(没有公共点)、相切(只有一个公共点)、相交(有两个公共点)三种，判断直线与圆的位置关系主要有两种方法：一是圆心到直线的距离与圆的半径比较大小；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(mR)∈．(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离？（1）用配方法将圆的一般方程配成标准方程,求圆心坐标,消去m.（2）比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.【解】(1)证明：配方得：(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，设圆心为(x，y)，则消去m得l：x－3y－3＝0，则不论m为何值，圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上．(2)设与l平行的直线是l1：x－3y＋b＝0，则圆心到直线l1的距离为 圆的半径为r＝5，∴当d＜r，即－5－3＜b＜5－3时，直线与圆相交；当d＝r，即b＝±5－3时，直线与圆相切；当d＞r，即b＜－5－3或b＞5－3时，直线与圆相离．1．在本例条件下，求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．证明：对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x－3y＋b＝0，由于圆心到直线l1的距离(与m无关)．弦长＝2且r和d均为常数．∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程(1)几何方法当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．(2)代数方法设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．【注意】过圆外一点作圆的切线有两条，若在解题过程中只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在，千万别发生遗漏．3．圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则()2＝r2－d2.(2)代数法：设直线与圆相交于A(x1，y2)，B(x2，y2)两点，解方程组消y后得关于x的一元二次方程，从而求得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|＝(k为直线斜率)．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0...
