外心内心引入重心垂心与三角形的心有关问题举例三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.三角形的五心关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题:一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?练习1.证明:三角形的三条中线交于一点.练习2.证明:三角形的三条角平分线交于一点.练习3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗?如:1.重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式.2.三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍.垂心、外心，重心的共线性(欧拉线)3.∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，则D为△BCI的外心.三.与三角形的心有关的几何竞赛题的思考.你会吗?重心:三角形三条中线的交点.△ABC的重心一般用字母G表示，它有如下的性质：(1)顶点与重心G的连线(中线)必平分对边.中线长的计算.(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.(3)13BGCCGAAGBABCSSSS.思考练习1:已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：2AGGCGD.思考练习1:已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：2AGGCGD.思考练习2:AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克)外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点).△ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC.(2)∠A=111,,222BOCBAOCCAOB.如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了.3答案思考练习3.AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别作半圆的切线得交点P，求证：PQ⊥AB.练习4思考练习3.AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别作半圆的切线得交点P，求证：PQ⊥AB.分析：延长EP到K，使PK=PE，连KF、AE、EF、BF，直线PQ交AB于H.因∠EQF=∠AQB=(90－∠1)+(90+∠2)=∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP，又由PK=PE=PF知∠K=∠PFK，∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK=180，从而E、Q、F、K四点共圆.由PK=PF=PE知，P为△EFK的外心，显然PQ=PE=PF.于是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ABF=90º.由此知QH⊥AH，即PQ⊥AB.思考练习4.在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.分析:设O1,O2,O3是△APS,△BQP,△CSQ的外心,作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A,∠QO2P=2∠B,∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3,易判断△KSO1≌△O2PO1,同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=21∠O2O1K=21(∠O2O1S+∠SO1K)=21(∠O2O1S+∠PO1O2)=21∠PO1S=∠A.同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.内心:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.△ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.(2)∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，则D与顶点B、C、内心I等距(即D为△BCI的外心).(3)∠BIC=90º+21∠A，∠CIA=90º+21∠B，∠AIB=90º+21∠C.5答案6思考练习5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，有一个圆内切于△ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：线段PQ的中点O是△ABC的内心.思考练习5.如图所示，在△ABC中，AB=AC，有一个圆内切于△ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：线段PQ的中点O是△ABC的内心.分析：设小圆圆心为1O，⊙1O与△ABC的外接圆切于D，连A1O，显然A1O⊥PQ，且△ABC为等腰三角形，所以A1O过△ABC的外接圆，D在A1O的延长线上，从而O为△ABC的顶角∠BAC的平分线的点，下面只需证OB平分∠ABC.为此，连接OB、PD、QD，由对称性易知，OD平分∠PDQ,而∠APQ=∠PDQ,PQ∥BC，故∠APQ=∠ABC，∠PDQ=∠ABC，由P、B、D、O四点共圆得∠PBO=∠PDO=21∠PDQ.所以∠PBO=21∠ABC.于是O为△ABC的内心.说明：本题...
